Tập Khái Niệm Về Khối Đa Diện / TOP 8 # Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 6/2023 # Top View

I. Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn tính chất :

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện . Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự

II. Khái niệm về khối đa diện

Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện.

Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với khối đa diện ấy được gọi là

điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài

được gọi là miền ngoài của khối đa diện.

Mỗi khối đa diện được xác định bởi hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của hình đa diện tương ứng.

III. Hai đa diện bằng nhau

1. Phép dời hình trong không gian

Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

2. Một số phép dời hình thường gặp

a) Phép tịnh tiến theo vectơ , là phép biến hình biến điểm thành

sao cho = . (h.1.1).

c) Phép đối xứng tâm O , là phép biến hình biến điểm thành chính nó, biến điểm khác thành

Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H’) và biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh, cạnh, mặt

tương ứng của (H’).

Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này thành đa diện kia.

IV. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện

chung thì ta nói có thể chia được khối đa diện thành hai khối đa diện và , hay có thể lắp

ghép được hai khối đa diện và với nhau để được khối đa diện .

Khái niệm về khối đa diện toán 12 đươc biên soạn từ đội ngũ giáo viên dạy giỏi môn toán trên toàn quốc giúp các em hệ thống lại kiến thức có trong bài khái niệm về khối đa diện và hướng dẫn giải bài tập SGK để các em hiểu rõ hơn.

Khái niệm về khối đa diện toán 12 thuộc: Chương 1: Khối đa diện

Hướng dẫn giải bài tập khái niệm niệm về khối đa điện SGK

Bài 1 (trang 12 SGK Hình học 12): Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ: Lời giải:

* Gọi a là số cạnh, b là số mặt của khối đa diện.

Nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thì mỗi mặt có ba cạnh. Trong ba cạnh đó mỗi cạnh lần lượt là cạnh chung của hai mặt.

Ta có 3b = 2a. Nghĩa là b chẵn.

Mà 2a chia hết cho 2 nên 3b cũng chia hết cho 2

⇒ b chia hết cho 2 hay b là số chẵn.

* Ví dụ: hình tứ diện đều có 4 mặt

Vì C là số nguyên dương nên:

Đồng thời M 1 ,M 2 , …, M n là n số tự nhiên lẻ nên tổng của chúng là số chẵn khi n chẵn.

Bài 4 (trang 12 SGK Hình học 12): Chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau. Lời giải:

Ta chia hình lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau như sau:

+ Chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối lăng trụ tam giác bằng nhau: ABD.A’B’D’ và BCD.B’C’D’.

– Hai khối tứ diện DABB’ và DAA’B’ bằng nhau vì chúng đối xứng nhau qua mặt phẳng (DAB’) (1)

– Hai khối tứ diện DAA’B’ và DD’A’B’ bằng nhau vì chúng đối xứng nhau qua mặt phẳng (B’A’D) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba khối tứ diện DABB’, DAA’B’ và DD’A’B’ bằng nhau.

– Tương tự, ba khối tứ diện DCBB’, DCC’B’, DD’C’B’ cũng bằng nhau.

Vậy khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ được chia thành sáu khối tứ diện bằng nhau.

Xem Video bài học trên YouTube

Là một giáo viên Dạy cấp 2 và 3 thích viết lạch và chia sẻ những cách giải bài tập hay và ngắn gọn nhất giúp các học sinh có thể tiếp thu kiến thức một cách nhanh nhất

bài 1khái niệm về khối đa diệnI . Khối lăng trụ và khối chóp

* Nhắc lại định nghĩa hình lăng trụ và hình chóp :+ Hình lăng trụ là hình có hai đáy là hai đa giác song song và bằng nhau và các mặt bên là các hình bình hành. + Hình chóp là hình có đáy là đa giác và các mặt bên là tam giác chung đỉnh.Hình lăng trụABCDE.A’B’C’D’E’Hình chóp S.ABCD+ Quan sát khối Rubic :Nhận thấy : * Các mặt ngoài của nó tạo thành hình lập phương* Ta nói rằng khối rubic là một khối lập phươngKhái niệm về khối lăng trụ và khối chóp :Qua việc quan sát ta có thể khái quát như sau :Khối lăng trụ (chóp ) là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp) kể cả hình lăng trụ (chóp ) ấy .( Phần nó chiếm không gian )Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được gọi theo tên của hình lăng trụ hay chóp .– VD như trên ta gọi là khối lăng trụ ABCDE.A’B’C’D’E’ hay khối chóp S.ABCD.Các khái niệm đỉnh , cạnh ,mặt … cũng được xác định như đối với hình chóp , lăng trụ .Ví dụ:Kim tự tháp ở Ai Cập có hình dáng là những khối chóp tứ giác đều.

II. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện 1.Khái niệm về hình đa diện + Hãy kể tên các mặt của hình lăng trụ và hình chóp sau :Lăng trụ :(ABCDE) , (A’B’C’D’E’), (ABB’A’), (BCC’B’), (CDD’C’), (DEE’D’) , (EAA’E’ ).Chóp : (ABCD), (SAB), (SBC), (SCD), (SDA).Quan sát hình lăng trụ và hình chóp trên ta nhận thấy các đa giác đều có các tính chất sau :Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung hoặc chỉ có một đỉnh chung,hoặc chỉ có một cạnh chung.Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.Tổng quát ta có thể định nghĩa hình đa diện : * Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thoả mãn hai tính chất:Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung hoặc chỉ có một đỉnh chung,hoặc chỉ có một cạnh chung.Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.* Các khái niệm về mặt ,cạnh, đỉnh của đa diện cũng giống như mặt ,cạnh, đỉnh của lăng trụ hay hình chóp .

Ví dụ : Hình đa diện2. Khối đa diện ĐN : Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện ,kể cả hình đa diện đó Những điểm không thuộc khối đa diện gọi là điểm ngoài của khối đa diện .Tập các điểm ngoài gọi là miền ngoàiNhững điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện giới hạn đa diện đó gọi là điểm trong của khối đa diện . Tập các điểm trong gọi là miền trong .Miền ngoàiĐiểm ngoài.MĐiểm trong Mỗi hình đa diện đều chia không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của khối đa diện ấy . Trong đó miền ngoài chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó. Miền trongHỏi :Các hình sau đây hình nào là khối đa diện, hình nào không phải?III. Hai đa diện bằng nhauPhép dời hình trong không gian Phép dời hình trong không gian được định nghĩa như trong mặt phẳng .Trong không gian ,quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là phếp biến hình trong không gian.Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình trong không gian nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tuỳ ý .

Ví dụ : a. Phép tịnh tiến theo véc tơ V: là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho

b. Phép đối xứng qua mặt phẳng (P): là phép biến hình biến M thành M’ sao cho : + Nếu M thuộc (P) thì M’ với M +Nếu M không thuộc (P) thì MM’ nhận (P) là mặt phẳng trung trựcNếu qua mp(P) hình (H) biến thành chính nó thì (P) gọi là mp đối xứng của hình (H)) MM’I

c. Phép đối xứng tâm O :là phép biến hình biến M thành M’ sao cho : + Điểm O biến thành chính nó + Nếu M khác O thì MM’ nhận O là trung điểm( O : gọi là tâm đối xứng )

d. Phép đối xứng qua đường thẳng (D) :là phép biến hình biến mọi điểm trên (D) thành chính nó, biến mỗi điểm M thành M’ sao cho : (D) là đường thẳng trung trực của MM’Nếu qua (D) hình (H) biến thành chính nó thì (D) gọi là trục đối xứng của hình (H)

Nhận xét : + Thực hiện liên tiếp các phép dời hình được một phép dời hình + Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H’) :thì đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H’) 2.Hai hình bằng nhau : Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình nọ thành hình kia

Đặc biệt :Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình đa diện nọ thành hình đa diện kia

Chúc các thầy, cô và các em mạnh khoẻ, hạnh phúc và thành đạt .

Hình đa diện gồm hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện sau:

Điều kiện 1: Với hai đa giác bất kỳ chỉ xảy ra một trong các trường hợp sau: Không có điểm chung; Có một đỉnh chung; Có 1 cạnh chung. Có nghĩa là hình có 2 đa giác mà không thuộc 3 trường hợp trên hoặc có nhiều hơn 1 trường hợp trong ba trường hợp trên đều không thỏa mãn.

Điều kiện 2: Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác. Nghĩa là có 1 cạnh của đa giác không là cạnh chung của 2 đa giác hoặc là cạnh chung của 3 đa giác trở lên đều vi phạm.

Các hình đa diện thường gặp mà chúng ta đã biết từ lớp 11 như: Hình tứ diện, hình chóp, hình lăng trụ, hình chóp cụt, hình hộp, hình lập phương…

Mỗi hình đa diện chia không gian thành miền trong và miền ngoài. Hình đa diện và miền trong của nó tạo thành khối đa diện. Hay nói cách khác mỗi hình đa diện có 1 khối đa diện tương tương ứng. Ví dụ khối tứ diện, khối chóp, khối lăng trụ, khối chóp cụt, khối hộp, khối lập phương… là các khối đa diện.

Khối đa diện được phân chia làm hai loại: Khối đa diện lồi và khối đa diện không lồi. Tuy nhiên trong chương trình THPT, chúng ta chỉ nghiên cứu khối đa diện lồi.

Khối đa diện lồi là khối đa diện mà đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ thuộc khối đa diện thì nằm hoàn toàn trên khối đa diện đó.

Ví dụ: Khối chóp, khối lăng trụ là các khối đa diện lồi.

III. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU LÀ GÌ

Trong số các khối đa diện lồi, chúng ta có 1 loại khối đa diện đặc biệt. Đó là khối đa diện đều.

Khối đa diện đều là khối đa diện thỏa mãn 2 điều kiện sau:

Mỗi mặt là đa giác đều p cạnh.

Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q mặt.

Khối đa diện như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p,q}. Và người ta cũng chứng minh được chỉ có đúng 5 loại khối đa diện đều (lồi).