Khái Niệm Ma Trận Bậc Thang / Top 11 Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 9/2023 # Top Trend

I. Các phép toán và phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận:

Các phép biến đổi sau đây đối với dòng (hàng) của ma trận được gọi là phép biến đổi sơ cấp trên dòng (hàng)

1.Nhân tất cả các phần tử của một dòng với cùng 1 số khác 0, ( Biến dòng ia lần dòng i), ký hiệu: thành

2.Cộng các phần tử của một dòng đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 dòng khác. (Biến dòng i thành dòng i cộng a dòng j), ký hiệu:

3. Đổi vị trí hai hàng. (hoán vị dòng i và dòng j với nhau), ký hiệu:

Tương tự ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên cột như sau:

1.Nhân tất cả các phần tử của một cột với cùng 1 số khác 0, ( Biến cột i thành a lần cột i), ký hiệu:

2.Cộng các phần tử của một cột đã nhân cho cùng 1 số vào các phần tử tương ứng của 1 cột khác. (Biến cột i thành cột i cộng a cột j), ký hiệu:

3. Đổi vị trí hai cột. (hoán vị cột i và cột j với nhau), ký hiệu:

Các phép biến đổi sơ cấp dòng hay cột được gọi chung là phép biến đổi sơ cấp.

II. Ma trận bậc thang:

2.1 Định nghĩa:

1. Một dòng (hay cột) của ma trận A được gọi là dòng không – zero row – (cột không) nếu nó chỉ gồm những phần tử 0. Ngược lại, nếu dòng (cột) của ma trận A có ít nhất 1 phần tử khác 0 thì nó được gọi là dòng (cột) khác không.

2. Phần tử khác không đầu tiên của một hàng (tính từ trái sang) hoặc 1 cột (tính từ trên xuống) được gọi là phần tử cơ sở (pivot) của hàng đó (hoặc cột đó)

3. A là ma trận khác không cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang dòng (row-echelon matrix), nếu nó có các đặc điểm sau đây:

3.1 Hoặc A không có dòng không hoặc các dòng không của A luôn nằm phía dưới các dòng khác không.

3.2 Nếu A có ít nhất hai dòng khác không thì đối với hai dòng khác không bất kỳ của nó, phần tử cơ sở của dòng dưới luôn nằm ở bên phải cột chứa phần tử cơ sở của dòng trên.

3. A là ma trận khác không cấp m x n trên K (m, n ≥ 2) được gọi là Ma trận bậc thang cột, nếu nó có các đặc điểm sau đây:

3.1 Hoặc A không có cột không hoặc các cột không của A luôn nằm phía bên phải các cột khác không.

3.2 Nếu A có ít nhất hai cột khác không thì đối với hai cột khác không bất kỳ của nó, phần tử cơ sở của cột bên phải luôn nằm ở dưới dòng chứa phần tử cơ sở của cột bên trái.

4. Các ma trận bậc thang dòng hay cột được goi chung là ma trận bậc thang. Ma trận vừa có dạng bậc thang dòng, vừa có dạng bậc thang cột và phần tử cơ sở của mỗi hàng và cột luôn bằng 1 được gọi là ma trận bậc thang chính tắc.

Một cách trực quan, ta sẽ thấy ma trận bậc thang dòng và ma trận bậc thang cột sẽ có dạng như sau:

Ví dụ minh họa:

Xét :

thì A không phải là ma trận bậc thang dòng, vì phần tử khác không đầu tiên của dòng 5, không nằm phía bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng 4.

Tuy nhiên, nếu áp dụng phép biến đổi sơ cấp dòng bằng cách biến đổi ta có:

Ta sẽ có được ma trận bậc thang dòng.

2.2 Định lý:

Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng (cột)

Bước 1: Kiểm tra ?

1.1 Nếu và , ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng i.

1.2 Nếu và , ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng k để cho bước 2 đơn giản.

1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột 1 bằng 0 thì cột 1 coi như bước 2 đã hoàn thành, chuyển sang bước 3.

Bước 2: Khử tất cả các phần tử của cột 1 dưới bằng phép biến đổi:

Khi đó, ma trận sẽ có dạng:

Bước 3: Kiểm tra ?

1.2 Nếu và , ta đổi chỗ vị trí hàng 2 và hàng k để cho bước 4 đơn giản.

1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột 2 (từ trở xuống) bằng 0 thì cột 2 đã được chuẩn hóa, coi như bước 4 đã hoàn thành

Bước 4: Khử tất cả các phần tử của cột 2 ở dưới bằng phép biến đổi:

Ma trận đưa về dạng:

Tiếp tục quá trình trên cho phần tử , phần tử ở dòng 4, cột 4; … ta sẽ đưa ma trận về dạng bậc thang dòng.

Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng bậc thang:

Bước 1: Phần tử . Tuy nhiên nên ta hoán đổi vị trí dòng 1 và dòng 4. Ta có:

Bước 2:Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: . Ta có:

Bước 3: Xét giá trị ở dòng 2, cột 2. Ta thấy là 1 số khá lớn. Nếu để nguyên như thế thì các bước sau chắc chắn xuất hiện phân số. Điều này làm cho bài toán rối rắm hơn.

Nhận thấy: 20 và 52 đều cho hết cho 4 nên ta đổi chỗ dòng 2 và dòng 4. Ta có:

Bước 4: Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: . Ta có:

Tiếp theo, ta chia dòng 3 cho 32 và chia dòng 4 cho 14. Ta có:

Bước 5: Xét giá trị ở dòng 3, cột 3.

Nhận thấy các phần tử nên cột 3 đã được chuẩn hóa.

Do đó, ta chuyển sang chuẩn hóa cột 4 bằng cách xét phần tử

Do , và nên ta cột 4 đã được chuẩn hóa. Ta chuyển sang cột 5. Lấy dòng 4 trừ dòng 3.

Ta có:

Sau bước này ta đã có được ma trận bậc thang dòng. Vậy ta đã có dạng bậc thang

Để chuyển về ma trận bậc thang chính tắc. Ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi trên cột như sau:

Bước 6: Bằng cách thực hiện phép biến đổi: , , , . Ta có:

Bước 7: Đổi chỗ cột 2 và cột 3. Ta có:

Bằng cách thực hiện phép biến đổi: , , . Ta có:

Bước 9: Do xuất hiện cột không nên ta cần đổi chỗ cột 3 và cột 5. Mục đích để cột không nằm ở vị trí cuối cùng. Ta có:

Vậy ta có dạng ma trận bậc thang chính tắc:

CHƯƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN& MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A  Mmxn(K) là phép biến đổi có một trong các dạng sau: a/ hi ↔ hj (Ci ↔ Cj) (Đổi chỗ 2 hàng hay 2 cột với nhau) b/ hi → α.hj (Ci → α.hi), α ≠ 0 (Nhân một hàng hay một cột với 01 số khác không) c/ hi → hi + βhj (Ci → Ci + βCj) (Thêm vào một hàng hay một cột bội số của hàng khác hoặc cột khác) 1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN (tt) Ký hiệu: A → B để chỉ ma trận B nhận được từ ma trận A sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên A Ví dụ: 2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG Cho ma trận A  Mmxn(K) Ma trận A được gọi là có dạng bậc thang nếu như: a/ Các hàng khác không (có ít nhất một phần tử nằm trên hàng nào đó khác không) nằm trên các hàng bằng không. b/ Với hai hàng khác không, phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên. 2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt) Ví dụ: Là những ma trận bậc thang Chú ý: Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp. Ta minh họa bởi ví dụ sau: 2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt) 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN a/ Định nghĩa: Cho ma trận A  Mmxn(K). Ta nói ma trận A có hạng bằng p (ký hiệu là r(A) = p) nếu như A chứa một ma trận con cấp p có định thức khác không, còn mọi định thức con cấp p+1 đều bằng không. Nói một cách khác, hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của nó. * Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) b/ Hạng của ma trận có các tính chất sau: . r(A) = r(AT) . r(Amxn) ≤ min{m,n} . r(A+B) ≤ r(A) + r(B) . r(A.B) ≤ min{r(A),r(B)} . Cho ma trận A  Mmxn(K) X  Mn(K), detX ≠ 0 Y  Mm(K), detY ≠ 0 Khi đó: r(A) = r(A.X) = r(Y.A) 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) b/ Hạng của ma trận có các tính chất sau (tt): . Nếu A → B (Ma trận B nhận được từ A qua một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp) Khi đó: r(A) = r(B) . Nếu A  Mn(K) thì: + r(A) = n  detA ≠ 0 + r(A) < n  detA = 0 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) c/ Định lý: Cho A  Mmxn(K) là một ma trận bậc thang có p hàng khác không. Khi đó: r(A) = p Nhận xét: Từ định lý này ta thấy, để tìm hạng của một ma trận, thì ta biến đổi sơ cấp trên ma trận đã cho để đưa nó về dạng bậc thang. Khi đó ta dễ dàng suy ra hạng của ma trận. 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) Ví dụ 1: Tìm hạng của ma trận  r(A) = 2 3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) Ví dụ 2: Tìm hạng của ma trận sau theo tham số a Biện luận: . a = 7 thì r(A) = 2 . a ≠ 7 thì r(A) = 3 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO a/ Định nghĩa ma trận phụ hợp Cho A = (aij)  Mn(K), khi đó ta gọi ma trận là ma trận phụ hợp của ma trận A Ở đây: Aij = (-1)i+jdet(Cij) là phần bù đại số của phần tử aij. Cij là ma trận có cấp (n-1) nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ hàng thứ i và cột thứ j. 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) * Ma trận phụ hợp PA có tính chất sau: chúng tôi = PA.A = (detA).In Hãy tìm ma trận phụ Ví dụ: Cho ma trận Cuối cùng ta tính được ma trận hợp PA 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) b/ Định nghĩa ma trận nghịch đảo Cho ma trận A  Mn(K) * A được gọi là ma trận không suy biến nếu det(A ) ≠ 0 * A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại B Є Mn(K) sao cho: A.B = B.A = In Lúc này, B được gọi là ma trận nghịch đảo của A và được ký hiệu là B = A-1 Do vậy ta có: A.A-1 = A-1.A = In 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) c/ Định lý Cho ma trận A  Mn(K) A không suy biến  A khả nghịch và lúc này Cho A, B  Mn(K). Khi đó: . Nếu A không suy biến thì A-1, AT cũng không suy biến và (A-1)-1 = A và (AT)-1 = (A-1)T . Nếu A và B không suy biến thì A.B cũng không suy biến và (A.B)-1 = B-1.A-1 d/ Ma trận nghịch đảo có các tính chất sau: 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) Ví dụ 1: Cho . Tìm A-1 Vậy Nhận xét: detA = – 2 ≠ 0. Vậy A khả nghịch. Ta có: A11 = (-1)1+1.4, A12 = (-1)1+2.3 A21 = (-1)2+1.2, A22 = (-1)2+2.1 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) Ví dụ 2: Cho . Tìm A-1 Nhận xét: detA = 1 ≠ 0 nên tồn tại A-1 Ta có: 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) Vậy e/ Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng Ta còn có một thuật toán khác để tìm A-1 chỉ qua các phép biến đổi sơ cấp trên hàng như sau: Chú ý: Phương pháp này tiện cho việc tính A-1 mà ma trận A có cấp cao. 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) Ví dụ 3: Cho . Tìm A-1 Ta viết 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) Ví dụ 3 (tt): 4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) Ví dụ 3 (tt): BÀI TẬP CHƯƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Bài 1: Tìm hạng của ma trận BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) Bài 2: Cho ma trận Tìm điều kiện của m để r(A) = 3 Bài 3: Cho ma trận Hãy biện luận r(A) theo tham số a BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) Bài 4: Cho ma trận Tìm điều kiện của m để A khả nghịch Bài 5: Cho ma trận Tìm điều kiện của m để A khả nghịch BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) Bài 6: Cho ma trận Tìm A-1 Bài 7: Giải phương trình ma trận Bài 8: Cho A  Mn(K), detA = 4. Hãy tính detA-1, det(A.AT) BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) Bài 9: Tìm A-1 bằng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 Bài 1: Tìm hạng của ma trận a/ r(A) = 2 b/ r(A) = 3 c/ r(A) = 3 Bài 2: Để r(A) = 3 thì điều kiện là m ≠ 2 và m ≠ – 1 Bài 3: r(A) = 5, a Hướng dẫn: Do detA ≠ 0 không phụ thuộc vào a Bài 4: Để ma trận A khả nghịch điều kiện là Hướng dẫn: A khả nghịch  detA ≠ 0  ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) Bài 5: Không tồn tại m để ma trận A khả nghịch Ta có: A = B.C Hướng dẫn: Đặt  detA = chúng tôi Mà detB = 0 (Do ma trận B có 2 hàng tỷ lệ) Vậy detA = 0, m ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) Bài 6: Hướng dẫn: detA = 1 ≠ 0, vậy tồn tại A-1 Ta có: Mà ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) Bài 7: Hướng dẫn: Ta có A.X = B (Đã làm ở bài 6)  A-1.A.X = A-1.B  X = A-1.B Mà ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) Bài 8: Hướng dẫn: Ta có: A.A-1 = In , det(A.AT) = 16  det(A.A-1) = detIn = 1  detA.detA-1 = 1  Ta có: det(A.AT) = detA.detAT Mà detAT = detA Do đó det(A.AT) = 16 ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) Bài 9: Tìm A-1 bằng phép biến đổi sơ cấp theo hàng Hướng dẫn:

Ma trận SWOT là công cụ kết hợp quan trọng có thể giúp cho các nhà quản trị phát triển 4 loại chiến lược: (1) Chiến lược điểm mạnh – cơ hội (SO); (2) Chiến lược điểm yếu – cơ hội (WO); Chiến lược điểm mạnh – nguy cơ (ST); và Chiến lược điểm yếu – nguy cơ (WO). Hình 6.5 chỉ ra ma trận SWOT và các kết hợp chiến lược.

(1) Chiến lược SO

Là chiến lược sử dụng những điểm mạnh bên trong của doanh nghiệp để tận dụng những cơ hội bên ngoài. Tất cả các nhà quản trị đều mong muốn tổ chức của họ ở vào vị trí mà những điểm mạnh bên trong có thể được sử dụng để lợi dụng những xu hướng và biến cố của môi trường bên ngoài. Thông thường các tổ chức sẽ theo đuổi các chiến lược WO, ST hay WT để có thể ở vào vị trí mà họ có thể áp dụng các chiến lược SO. Khi doanh nghiệp có những điểm yếu lớn thì nó sẽ cố gắng vượt qua, làm cho chúng trở thành những điểm mạnh. Khi một tổ chức phải đối đầu với những mối đe doạ quan trọng thì nó sẽ tìm cách tránh chúng để có thể tập trung vào những cơ hội.

(2) Chiến lược WO

Là chiến lược nhằm cải thiện những điểm yếu bên trong bằng cách tận dụng những cơ hội bên ngoài. Đôi khi những cơ hội lớn bên ngoài đang tồn tại, nhưng doanh nghiệp có những điểm yếu bên trong ngăn cản nó khai thác những cơ hội này.

(3) Chiến lược ST

Là chiến lược sử dụng các điểm mạnh của doanh nghiệp để tránh khỏi hay giảm đi ảnh hưởng của những mối đe doạ bên ngoài. Điều này không có nghĩa là một tổ chức hùng mạnh luôn luôn gặp phải những mối đe doạ từ bên ngoài.

(4) Chiến lược WT

Là các chiến lược phòng thủ nhằm làm giảm đi những điểm yếu bên trong và tránh khỏi những mối đe doạ từ bên ngoài. Một tổ chức đối đầu với vô số mối đe doạ bên ngoàii và những điểm yếu bên trong có thể khiến cho nó lâm vào hoàn cảnh không an toàn chút nào. Trong thực tế, một tổ chức như vây phải đấu tranh để tồn tại, liên kết, hạn chế chi tiêu, tuyên bố phá sản hay phải chịu vỡ nợ.

Lập một ma trận SWOT bao gồm các bước sau:

Mục đích kết hợp trong 4 bước cuối cùng là để đề ra các chiến lược khả thi có thể chọn lựa chứ không phải lựa chọn hay quyết định chiến lược nào là tốt nhất. Do đó, không phải tất cả các chiến lược được phát triển trong ma trận SWOT đều được lựa chọn để thực hiện.

Hôm nay Lập trình không khó sẽ cùng các bạn đi làm một bài tập lập trình C++. Yêu cầu của đề bài là đọc ma trận từ file sử dụng C++ và sau đó kiểm tra xem ma trận đó có phải ma trận đường chéo không? Có một lưu ý là file chứa thông tin ma trận không có thông tin số lượng hay kích thước của ma trận. Điều này sẽ giúp bài toán trở nên thú vị hơn rất nhiều.

Phân tích bài toán Phân tích đề:

Như bạn thấy, ma trận trong file text không hề có kích thước. Vậy một số việc chúng ta cần làm ở bài toán này bao gồm:

Đọc ma trận từ file

Lấy được kích thước của ma trận

Kiểm tra ma trận có phải ma trận vuông không? Xem ma trận đường chéo phía dưới.

Kiểm tra có phải ma trận đường chéo không?

Ma trận đường chéo là gì?

Xét ma trận vuông A. Nếu mọi phần tử nằm bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0, thì A được gọi là ma trận đường chéo.

Ví dụ ma trận đường chéo

Như vậy, ta cần kiểm tra nếu không phải ma trận vuông thì thông báo ra và kết thúc.

Đọc ma trận từ file trong C++

Để đơn giản hơn, mình sẽ bỏ dấu phảy trong file text. Cụ thể, ma trận lưu trong text file sẽ có dạng như sau:

Ý tưởng đọc ma trận:

Bỏ qua dòng đầu tiên, dòng này là tên ma trận nên bỏ nó đi

Đọc vào từng dòng, tách phần tử và lưu nó vào một trận 2 chiều

Đặt kích thước mảng 2 chiều bằng số phần tử của hàng đầu tiên

Hàm đọc ma trận từ file Hàm kiểm tra ma trận đường chéo

Ý tưởng là: Nếu tồn tại một phần tử nằm ngoài đường chéo mà có giá trị khác 0 thì kết luận là không phải ma trận đường chéo. Đây là một bài tập C++ sử dụng kiến thức về vòng lặp và cấu trúc điều khiển

Toàn bộ lời giải của bài toán

Kết quả chạy thử:

Sáng lập cộng đồng Lập Trình Không Khó với mong muốn giúp đỡ các bạn trẻ trên con đường trở thành những lập trình viên tương lai. Tất cả những gì tôi viết ra đây chỉ đơn giản là sở thích ghi lại các kiến thức mà tôi tích lũy được.