Dạy Học Khái Niệm Toán Học

“Dạy học khái niệm toán học” là một trong các tình huống điển hình trong dạy học môn Toán. Việc dạy học các khái niệm toán học có vị trí quan trọng hàng đầu, một hệ thống các khái niệm toán học là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thới giới quan duy vật biện chứng cho người học.

Việc dạy học các khái niệm toán học ở trường THPT phải dần dần làm cho học sinh đạt được các yêu cầu sau:

Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước.

Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm

Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn

Nắm được mối quan hệ của khái niệm này so với khái niệm khác trong một hệ thống các khái niệm

Theo con đường này, xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (như mô hình, hình vẽ, thí dụ cụ thể,…) giáo viên dẫn dắt học sinh bằng cách trừu tượng hóa và khái quát hóa tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở những trường hợp cụ thể, từ đó đi đến định nghĩa của khái niệm.

Cần phải chọn lọc một số lượng thích hợp những hình ảnh, thí dụ cụ thể, trong đó dấu hiệu đặc cho khái niệm được đọng lại nguyên vẹn, còn những thuộc tính khác của những đối tượng thì thay đổi.

Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra như sau:

Giáo viên đưa ra một số ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại của một loạt đối tượng nào đó

Giáo viên dẫn dẫn học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tượng đang được xem xét.

Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu định nghĩa khái niệm bằng cách nêu các tính chất đặc trưng của khái niệm

Con đường này nên thực hiện khi:

trình độ nhận thức học sinh còn thấp;

vốn kiến thức còn chưa nhiều và thường được sử dụng trong điều kiện: chưa phát hiện được một khái niệm nào làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn;

đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm cần hình thành, do đó đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp

Ví dụ, để hình thành khái niệm về phép biến hình theo con đường quy nạp, ta có thể làm như sau:

Cho điểm O cố định, với điểm M tùy ý hãy dựng điểm M’ là điểm đối xứng với M qua O

Cho một vecto , với điểm M tùy ý hãy dựng điểm M’ sao cho

Qua 2 hoạt động trên, học sinh nhận xét những đặc điểm giống nhau (với mỗi điểm M đều có một quy tắc để chỉ ra điểm M’ xác định) và khác nhau (thể hiện ở nội dung của quy tắc ấy) ở hai hoạt động trên. Sau đó đi đến định nghĩa phép biến hình là một quy tắc sao cho ứng với mỗi điểm M ta có thể chỉ ra một điểm M’ hoàn toán xác định.

Xét một ví dụ khác, trước khi phát biểu định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng, có thể cho học sinh giải quyết bài toán sau: “Chứng minh rằng nếu đường thẳng d song song với một đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và nếu d không nằm trong (P) thì đường thẳng d và mặt phẳng (P) không có điểm chung”. Sau đó đi đến định nghĩa “Đường thẳng d song song với mp(P) nếu d song với một đường thẳng nằm trong (P) và d không nằm trong mp(P)”

Quá trình hình thành khái niệm theo con đường quy nạp có tác dụng phát triển những năng lực trí tuện như trừu tượng hóa, khái quá hóa, so sánh thuận lợi cho hoạt động tích cực của học sinh. Tuy nhiên, con đường này đòi hỏi phải tốn nhiều thời gian và cần có các điều kiện đã nói trên.

Con đường thứ hai là con đường suy diễn, trong đó định nghĩa khái niệm mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm mà học sinh đã biết

Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra như sau:

Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một số đặc điểm mà ta quan tâm

Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó

Đưa ra ví dụ đơn giản minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa

Con đường này nên thực hiện khi:

trình độ nhận thức của học sinh đã khá hơn

vốn kiến thức đã nhiều lên

phát hiện ra một khái niệm làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn

Ví dụ, có thể hình thành khái niệm phép vị tự cho học sinh theo con đường suy diễn bằng cách dựa vào phép biến hình đã được học trước đó như sau:

“Cho một điểm O và số k ≠ 0, phép biến hình biến một điểm M bất kì thành điểm M’ sao cho gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k”.

Sau khi định nghĩa theo con đường này, cần thiết phải lấy ví dụ cụ thể để chứng tỏ rằng khái niệm được định nghĩa như vậy thực sự tồn tại.

Ví dụ, sau khi phát biểu định nghĩa đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b nên cho học sinh xác định đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối diện của một tứ diện đều, hoặc đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng AB và A’D’, AA’ và BD’,… của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.

Con đường hình thành khái niệm này có tác dụng tốt để phát huy tính chủ động và sáng tạo cho học sinh, tiết kiệm thời gian. Tuy nhiên con đường này hạn chế phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh…

a) Các cách định nghĩa

Việc hình thành khái niệm thường kết thúc bằng định nghĩa khái niệm. Trong toán học và trong giảng dạy toán học có những cách khác nhau để định nghĩa khái niệm.

Định nghĩa bằng cách nêu rõ loại và chủng là cách định nghĩa có cấu trúc dạng B(x) ⇔ A(x) và P(x)

Xét tập hợp T gồm các phần tử x có tính chất A và trong T có những phần tử mang tính chất P nào đó và những phần tử không có tính chất này, thì nhờ tính chất P, ta chia tập hợp T thành hai tập hợp con không rỗng, không giao nhau:

Như vậy một phần tử có tính chất B thì phải có tính chất A và P và viết là: B(x) ⇔ A(x) và P(x)

Trong cấu trúc trên, tính chất B gọi là tính chất của khái niệm chủng còn tính chất A là tính chất của một khái niệm loại, thường là loại gần nhất với đối tượng/phần tử x được định nghĩa, còn P là sự khác biệt đặc trưng giữa các đối tượng có tính chất B và các đối tượng còn lại mang tính chất A.

Ví dụ, trong định nghĩa phép vị tự nói trên, một phép biến hình là phép vị tự (B) khi và chỉ khi phép biến hình ấy (A) và có tính chất (P) biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho

Định nghĩa như vậy là tường minh, trong đó các khái niệm được định nghĩa và khái niệm dùng để định nghĩa là tách bạch với nhau. Điều đó cho phép ta thay thế cái được định nghĩa bằng cái dùng để định nghĩa hay ngược lại. Sự thay thế như vậy rất hay được sử dụng khi chứng minh định lý hay giải toán.

Chú ý rằng, định nghĩa bằng cách nêu rõ loại và chủng như trên phải thỏa mãn yêu cầu logic sau: “Trong tập hợp T có những phần tử có tính chất P và có những phần tử không có tính chất P”.

Tất nhiên, không phải tất cả các khái niệm toán học đều được định nghĩa theo cấu trúc trên, vì sẽ có những khái niệm xuất phát đầu tiên không được định nghĩa thông qua khái niệm nào khác. Những khái niệm này được định nghĩa một cách không tường minh, giáp tiếp bằng mô tả để làm nổi bật nội dung của chúng (ở trình độ thấp) hay bằng những tiên đề (ở trình độ xây dựng lí thuyết chặt chẽ), chẳng hạn như khái niệm “điểm”, “đường thẳng”, “hướng của vecto”,…

Như vậy, khi nói rằng các khái niệm “điểm”, “đường thẳng”, “mặt phẳng” là những khái niệm xuất phát nên không được định nghĩa thì phải hiểu là “chúng không được định nghĩa tường minh qua các khái niệm khác”.

Tóm lại, trong dạy học ở trường phổ thông, có những khái niệm không được định nghĩa vì hai lí do khác nhau: hoặc vì chúng là những khái niệm xuất phát trong khoa học toán học, hoặc vì lí do sư phạm. Đối với những khái niệm như vậy thì cần mô tả, giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để giúp học sinh hình dung được hình ảnh, hiểu được ý nghĩa của khái niệm ấy.

Trong các khái niệm toán học, có những khái niệm về một đối tượng và có những khái niệm về một quan hệ. Chẳng hạn, định nghĩa như sau: “Vecto là một đoạn thẳng trong đó đã chỉ rõ điểm mút nào là điểm đầu và điểm mút nào là điểm cuối” là một khái niệm về một đối tượng. Nhưng, định nghĩa “Đường thẳng d gọi là vuông góc với mp(P) nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng của mp(P).” lại là một khái niệm về một quan hệ.

Trong cách định nghĩa về một khái niệm quan hệ, rõ ràng đó là một cách định nghĩa tường minh nhưng không thể tách được khái niệm loại gần nhất và sự khác biệt đặc trưng.

b) Các yêu cầu của một định nghĩa

Đối với một định nghĩa, ta không thể nói rằng nó đúng hay sai. Một định nghĩa có thể hợp lý (chấp nhận được) hay không hợp lý (không chấp nhận được) phụ thuộc vào sự thỏa mãn hay không thỏa mãn những yêu cầu tối thiểu của định nghĩa.

Yêu cầu quan trọng nhất là định nghĩa không được vòng quanh. Việc vi phạm nguyên tắc này thể hiện ở chỗ cái được định nghĩa lại chứa đựng (tường minh hay không tường minh) trong cái dùng để định nghĩa. Chẳng hạn:

“Góc được gọi là góc vuông nếu hai cạnh của nó vuông góc với nhau”

“Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu chúng tạo thành một góc vuông”

Sự vòng quanh thể hiện ở chỗ: trong định nghĩa thứ nhất, góc vuông được định nghĩa qua các đường thẳng vuông góc, còn trong định nghĩa thứ hai thì khái niệm thứ hai lại được định nghĩa qua khái niệm thứ nhất.

Yêu cầu thứ hai nhằm đảm bảo sự đúng đắn (chuẩn mực) của một định nghĩa, đó là định nghĩa phải có trị nhưng không được đa trị. Định nghĩa phải có trị tức là phải tồn tại ít nhất một đối tượng thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa. Định nghĩa không được đa trị tức là mỗi thuật ngữ hay kí hiệu chỉ được dùng để chỉ một cái được định nghĩa. Ví dụ về sự vi phạm này là việc dùng cùng một kí hiệu “AB” để chỉ các đối tượng “đường thẳng đi qua đoạn thẳng với hai đầu mút là A và B”, “độ dài đoạn thẳng AB”, “tia với điểm gốc A và chứa điểm B”, “vecto với điểm đầu A và điểm cuối B”,… Vì vậy trong sách giáo kha, người ta phải đặt trước kí hiệu này thuật ngữ chỉ loại đối tượng như “đoạn thẳng AB”, “tia AB”,… hoặc kèm theo kí hiệu bổ sung.

Để củng cố khái niệm cho học sinh, giáo viên cần cho học sinh tập luyện những hoạt động: nhận dạng và thể hiện khái niệm, hoạt động ngôn ngữ, khái quát hóa và đặc biệt hóa, hệ thống hóa khái niệm, vận dụng khái niệm,…

a) Nhận dạng và thể hiện

Một trong những biểu hiện của chủ nghĩa hình thức trong quá trình học môn toán là học sinh học thuộc cách phát biểu định nghĩa nhưng lại không nhận biết được một đối tượng cụ thể trong những tình huống khác nhau có thỏa mãn định nghĩa ấy hay không, không tự mình tạo ra được những đối tượng thỏa mãn định nghĩa. Vì vậy, cần phải cho học sinh tiến hành những hoạt động “nhận dạng” và “thể hiện” để tránh và khắc phục tình trạng này.

Ví dụ: Sau khi học sinh đã biết định nghĩa hai đường thẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau thì nên cho họ tiến hành những hoạt động nhận dạng và thể hiện như

Quan sát một tứ diện và có nhận xét gì về vị trí tương đối của sáu đường thẳng chứa sáu cạnh?

Muốn tạo thêm những cặp đường thẳng chéo nhau, ta chỉ cần lấy trung điểm của hai cạnh đối diện nào đó rồi xét vị trí tương đối của đường thẳng đi qua hai trung điểm đó và các đường khác

Cho trước hai đường thẳng chéo nhau a, b và xét hai đường thẳng phân biệt c, d cắt cả a lẫn b thì c và d không thể là hai đường thẳng song song

Việc nhận dạng và thể hiện khái niệm có thể dựa vào định nghĩa khái niệm cũng có thể dựa vào các điều kiện cần, điều kiện đủ khác.

Ví dụ, để nhận dạng và thể hiện khái niệm “Hai đường thẳng song song trong không gian” thì ngoài định nghĩa “Trong không gian, hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung và cùng nằm trên một mặt phẳng nào đó” thì còn có thể sử dụng định lí “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” hoặc định lí “Một mp(P) cắt hai mặt phẳng phân biệt (Q) và (R) theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song”.

b) Hoạt động ngôn ngữ

Để giúp học sinh củng cố khái niệm và phát triển ngôn ngữ, cần chú ý hướng dẫn và khuyến khích họ diễn đạt một định nghĩa dưới nhiều hình thức khác nhau, bằng lời lẽ của bản thân.

c) Khái quát hóa, đặc biệt hóa

Khái quát hóa khái niệm – một hoạt động quan trọng cần rèn luyện cho học sinh. Chẳng hạn, từ khái niệm tiếp tuyến của một đường tròn tới khái niệm tiếp tuyến của một đường cong, từ các khái niệm vận tốc tức thời của một chuyển đọng, hệ số góc của một tiếp tuyến tới khái niệm đạo hàm của một hàm số,… Ngược lại với hoạt động khái quát hóa là đặc biệt hóa

d) Hệ thống hóa

Hệ thống hóa khái niệm, tức là biết nhận ra những mối quan hệ giữa những khái niệm, ví dụ như khái niệm tiếp tuyến của một đường tròn là một trường hợp riêng của khái niệm tiếp tuyến của một đường cong, khái niệm đạo hàm là một khái niệm khái quát của khái niệm vận tốc tức thời,…

e) Vận dụng

Sau khi truyền thụ một khái niệm, cần tạo cơ hội cho học sinh vận dụng nó vào những bài toán, những hoạt động khác nhau, đặc biệt là những bài toán chứng minh. Điều đó vừa có tác dụng củng cố, đào sâu khái niệm, lại vừa góp phần phát triển năng lực giải toán.

Trong các hoạt động trên thì hoạt động “nhận dạng và thể hiện” khái niệm có vai trò đặc biệt quan trọng vì các hoạt động này có tác dụng tích cực không chỉ trong giai đoạn củng cố khái niệm mà còn cả trong giai đoạn hình thành khái niệm và vận dụng khái niệm, hơn nữa chúng là biện pháp chủ yếu để chống và khắc phục chủ nghĩa hình thức trong học tập.

Biết phân chia khái niệm là một trong những biểu hiện của việc nắm vững khái niệm toán học cũng như những khái niệm thuộc môn học khác. Chẳng hạn, học sinh sẽ nắm vững khái niệm hàm số hơn nếu cùng với việc hiểu định nghĩa, học sinh còn biết rằng có những hàm số chẵn và hàm số không chẵn, những hàm số lẻ và hàm số không lẻ.

khi giải và biện luận phương trình học sinh phải xét trường hợp m = 1 phương trình trở thành phương trình bậc nhất thì giải theo kiểu phương trình bậc nhất và trường hợp m ≠ 1 phương trình đã cho là phương trình bậc hai thì giải theo kiểu phương trình bậc hai

xét bài toán “Chứng minh lăng trụ có sáu mặt đều là hình thoi bằng nhau là một lăng trụ xiên”

xét bài toán “Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với một mặt phẳng (P). Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a và b”[20]

Thực tiễn dạy học cho thấy, giáo viên cần khai thác và sử dụng tốt các bài tập dạng trắc nghiệm khách quan kiểu “Các mệnh đề sau đây đúng hay sai: A)… B)… ” vì có tác dụng tốt trong việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng phân chia khái niệm. Muốn trả lời đúng câu hỏi, học sinh cần tiến hành phân chia khái niệm, tức là xét tất cả các khả năng có thể xảy ra. Chẳng hạn, xét bài toán sau “Mệnh đề ‘nếu a ⊥ b và a ⊥ c thì b

Biết phân chia khái niệm mới có thể hệ thống hóa các khái niệm sau mỗi phần, mỗi chương,… Chẳng hạn, có thể hệ thống khái niệm hình lăng trụ và hình hộp bằng sơ đồ Ven

Việc phân loại, hệ thống các khái niệm vượt xa ra khỏi phạm vi của việc nắm vững các kiến thức toán học, nó cần thiết cho bất kì lĩnh vực hoạt động nào của con người. Vì thế, những tri thức và kĩ năng về mặt này cần được chú ý thích đáng.

Trình tự truyền thụ một khái niệm mới thường bao gồm các hoạt động sau:

Dẫn học sinh vào khái niệm: giúp học sinh tiếp cận khái niệm, có thể thực hiện được bằng cách thông qua một ví dụ hoặc một hiện tượng có trong thực tiễn,…

Hình thành khái niệm: giúp học sinh có được khái niệm, có thể thực hiện được bằng cách khái quát hoát,…

Củng cố khái niệm: thông qua các hoạt động nhận dạng, thể hiện, ngôn ngữ. Khắc sâu kiến thức thông qua ví dụ và phản ví dụ

Bước đầu vận dụng khái niệm trong bài tập đơn giản

Vận dụng khái niệm trong bài tập tổng hợp

Phương pháp dạy học môn Toán, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, NXB Giáo dục, 2000, trang 179 – 192

Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 10 môn Toán, NXB Giáo dục, 2007, trang 98 – 100

Phương pháp dạy học môn Toán phần hai, Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cường, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Thường, NXB Giáo dục, trang 179 – 185; 310 – 311; 319 – 325

Tập tin:Phuong-phap-day-hoc-cac-tinh-huong-dien-hinh-trong-mon-Toan-Le-Van-Tien-2005.pdf, Lê Văn Tiến, Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chính Minh

Tập tin:Vai net ve day hoc khai niem ham so o truong pho chúng tôi – Luận văn của sinh viên Đào Thị Mừng, Đại học An Giang, 2008

Hay còn gọi là dấu hiệu đặc trưng. Theo từ điển tiếng Việt: Đặc trưng là điểm nổi bật, giúp phân biệt cá thể đã cho với các cá thể khác mà ta có thể đem ra so sánh

Mới biết suy luận dưới cấp độ 3 – theo các cấp độ tư duy của Van Hiele

Khái Niệm Tổ Hợp Trong Toán Học, Định Nghĩa Tổ Hợp

Tổ hợp là một dạng toán được học ở môn Toán cấp 3 và có ứng dụng nhiều trong thực tế. Với bài viết khái niệm tổ hợp trong Toán học sau đây sẽ giúp các bạn hiểu rõ về nó. 1. Lý thuyết khái niệm tổ hợp

Tổ hợp (trong Toán học) là cách chọn những phần tử từ một nhóm mà không phân biệt thứ tự. Trong trường hợp nhỏ có thể đếm được số tổ hợp. Ví dụ cho 3 loại quả, 1 quả táo, 1 quả cam và 1 quả lê, có 3 cách kết hợp 2 loại quả từ tập hợp này: 1 quả táo và 1 quả lê, 1 quả táo và 1 quả cam, 1 quả lê và 1 quả cam.

Định nghĩa tổ hợp: tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và không sắp xếp theo thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử bằng với hệ số của nhị thức.

[latex]displaystyle left( begin{array}{l}n\kend{array} right)=frac{{n(n-1)…(n-k+1)}}{{k(k-1)…1}}[/latex]

Các tổ hợp có thể là tổ chập gồm k phần từ khác nhau lấy từ n phần tử có sự lặp lại hoặc không có sự lặp lại. Như ví dụ phía trên thì không có sự lặp lại. Tuy nhiên, vẫn có thể chọn 2 quả của cùng một loại quả trong ví dụ trên, nếu vậy ta sẽ có thêm 3 tổ hợp nữa: một cặp với 2 quả táo, một cặp với 2 quả cam và một cặp với 2 quả lê.

Với những tập hợp lớn, cần phải sử dụng những công thức toán học phức tạp hơn để tìm số tổ hợp. Ví dụ, sấp bài 3 lá có thể gọi là tổ chập 3 (k = 3) lá bài từ 52 lá bài (n = 52). Sấp 3 lá bài hoàn toàn khác biệt nhau và thứ tự của các lá bài không quan trọng. Vậy ta sẽ có 22100 tổ chập như vậy, xác suất để rút một sấp bài 3 lá một cách ngẫu nhiên là 1/22100

(Nguồn bài viết https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BB%95_h%E1%BB%A3p_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc))

Tin Học 10 Bài 4: Bài Toán Và Thuật Toán

Tóm tắt lý thuyết

a. Khái niệm

Bài toán là một việc nào đó mà con người muốn máy tính thực hiện

Các yếu tố của một bài toán:

Input: Thông tin đã biết, thông tin đưa vào máy tính

Output: Thông tin cần tìm, thông tin lấy ra từ máy tính

b. Ví dụ

Tìm USCLN của 2 số nguyên dương

Tìm số lớn nhất trong 3 số nguyên dương a,b,c

Tìm nghiệm của phương trình bậc nhất: ax + b = 0 (a≠0)

a. Khái niệm

Thuật toán để giải một bài toán là:

Một dãy hữu hạn các thao tác (tính dừng)

Các thao tác được tiến hành theo một trình tự xác định (tính xác định)

Sau khi thực hiện xong dãy các thao tác đó ta nhận được Output của bài toán (tính đúng đắn)

b. Cách biểu diễn thuật toán

Có 2 cách để biểu diễn thuật toán:

Cách dùng phương pháp liệt kê: Nêu ra tuần tự các thao tác cần tiến hành

Ví dụ: Cho bài toán Tìm nghiệm của phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)?

Xác định bài toán

Input: Các số thực a, b, c

Output: Các số thực x thỏa mãn ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

Thuật toán:

Bước 1: Nhập a, b, c (a≠0)

Bước 2: Tính Δ = b2 – 4ac

Bước 3: Nếu Δ>0 thì phương trình có 2 nghiệm là

(x_{1}=frac{-b+sqrt{triangle}}{2a}) ; (x_{2}=frac{-b-sqrt{triangle}}{2a}) rồi kết thúc

Bước 4: Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép (x_{1,2}=frac{-b}{2b}) rồi kết thúc thuật toán. Nếu không chuyển sang bước tiếp theo

Bước 5: Kết luận phương trình vô nghiệm rồi kết thúc

Cách dùng sơ đồ khối

Hình thoi : thể hiện thao tác so sánh;

Hình chữ nhật : thể hiện các phép tính toán;

Hình ô van : thể hiện thao tác nhập, xuất dữ liệu;

Các mũi tên : qui định trình tự thực hiện các thao tác.

Bài toán 1: Kiểm tra tính nguyên tố 1. Xác định bài toán

Input: N là một số nguyên dương

Output:

N là số nguyên tố hoặc

N không là số nguyên tố

Định nghĩa: “Một số nguyên dương N là số nguyên tố nếu nó chỉ có đúng hai ước là 1 và N”

Tính chất:

Nếu N = 1 thì N không là số nguyên tố

Nếu 1 < N < 4 thì N là số nguyên tố

2. Ý tưởng

N<4: Xem như bài toán đã được giải quyết

N>=4: Tìm ước i đầu tiên > 1 của N

Nếu i < N thì N không là số nguyên tố (vì N có ít nhất 3 ước 1, i, N)

Nếu i = N thì N là số nguyên tố

3. Xây dựng thuật toán a) Cách liệt kê

Bước 1: Nhập số nguyên dương N;

Bước 2: Nếu N=1 thì thông báo “N không là số nguyên tố”, kết thúc;

Bước 3: Nếu N<4 thì thông báo “N là số nguyên tố”, kết thúc;

Bước 4: (i leftarrow2 😉

Bước 5: Nếu i là ước của N thì đến bước 7

Bước 6: (i leftarrow i +1) rồi quay lại bước 5; (Tăng i lên 1 đơn vị)

Bước 7: Nếu i = N thì thông báo “N là số nguyên tố”, ngược lại thì thông báo “N không là số nguyên tố”, kết thúc;

b) Sơ đồ khối Hình 1. Sơ đồ khối thuật toán kiểm tra tính nguyên tố của một số nguyên dương N

Lưu ý: Nếu N >= 4 và không có ước trong phạm vi từ 2 đến phần nguyên căn bậc 2 của N thì N là số nguyên tố

Bài toán 2: Sắp xếp bằng cách tráo đổi 1. Xác định bài toán

Input: Dãy A gồm N số nguyên a1, a2,…,an

Ví dụ : Dãy A gồm các số nguyên: 2 4 8 7 1 5

Output: Dãy A được sắp xếp thành dãy không giảm

Dãy A sau khi sắp xếp: 1 2 4 5 7 8

2. Ý tưởng

Với mỗi cặp số hạng đứng liền kề trong dãy, nếu số trước > số sau ta đổi chỗ chúng cho nhau. (Các số lớn sẽ được đẩy dần về vị trí xác định cuối dãy)

Việc này lặp lại nhiều lượt, mỗi lượt tiến hành nhiều lần so sánh cho đến khi không có sự đổi chỗ nào xảy ra nữa

3. Xây dựng thuật toán

Bước 1. Nhập N, các số hạng a1, a2,…,an;

Bước 2. Đầu tiên gọi M là số số hạng cần so sánh, vậy M sẽ chứa giá trị của N: (M leftarrow N);

Bước 3. Nếu số số hạng cần so sánh < 2 thì dãy đã được sắp xếp. Kết thúc;

Bước 4. M chứa giá trị mới là số phép so sánh cần thực hiện trong lượt: (M leftarrow M-1). Gọi i là số thứ tự của mỗi lần so sánh, đầu tiên i 0;

Bước 5. Để thực hiện lần so sánh mới, i tăng lên 1 (lần so sánh thứ i)

Bước 6. Nếu lần so sánh thứ i> số phép so sánh M: đã hoàn tất M số phép so sánh của lượt này. Lặp lại bước 3, bắt đầu lượt kế (với số số hạng cần so sánh mới chính là M đã giảm 1 ở bước 4);

Bước 7. So sánh 2 phần tử ở lần thứ i là ai và ai+1. Nếu ai > ai+1 thì tráo đổi 2 phần tử này;

Bước 8. Quay lại bước 5

a) Đối chiếu, hình thành các bước liệt kê

Bước 1: Nhập N, các số hạng a1, a2,…,an;

Bước 2: (M leftarrow N 😉

Bước 3: Nếu M < 2 thì đưa ra dãy A đã được sắp xếp, rồi kết thúc;

Bước 4: (M leftarrow M-1 ; i leftarrow 0 😉

Bước 5: ( i leftarrow i – 1 😉

Bước 6: Nếu i > M thì quay lại bước 3;

Bước 7: Nếu ai > ai+1 thì tráo đổi ai và ai+1 cho nhau;

Bước 8: Quay lại bước 5;

b) Sơ đồ khối Hình 2. Sơ đồ khối thuật toán sắp xếp bằng cách tráo đổi Bài toán 3: Tìm kiếm tuần tự 1. Xác định bài toán

Input : Dãy A gồm N số nguyên khác nhau a1, a2,…,an và một số nguyên k (khóa)

Ví dụ : Dãy A gồm các số nguyên: 5 7 1 4 2 9 8 11 25 51 . Và k = 2 (k = 6)

Output: Vị trí i mà ai = k hoặc thông báo không tìm thấy k trong dãy. Vị trí của 2 trong dãy là 5 (không tìm thấy 6)

2. Ý tưởng

Tìm kiếm tuần tự được thực hiện một cách tự nhiên: Lần lượt đi từ số hạng thứ nhất, ta so sánh giá trị số hạng đang xét với khóa cho đến khi gặp một số hạng bằng khóa hoặc dãy đã được xét hết mà không tìm thấy giá trị của khóa trên dãy.

3. Xây dựng thuật toán a) Cách liệt kê

Bước 1: Nhập N, các số hạng a1, a2,…, aN và giá trị khoá k;

Bước 2: (i leftarrow 1;)

Bước 3: Nếu ai = k thì thông báo chỉ số i, rồi kết thúc;

Bước 4: (i leftarrow i + 1;)

Bước 5: Nếu i > N thì thông báo dãy A không có số hạng nào có giá trị bằng k, rồi kết thúc;

Bước 6: Quay lại bước 3;

b) Sơ đồ khối Hình 3. Sơ đồ khối thuật toán tìm kiếm tuần tự Bài toán 4: Tìm kiếm nhị phân 1. Xác định bài toán

Input: Dãy A là dãy tăng gồm N số nguyên khác nhau a1, a2,…,an và một số nguyên k.

Ví dụ: Dãy A gồm các số nguyên: 2 4 5 6 9 21 22 30 31 33. Và k = 21 (k = 25)

Output : Vị trí i mà ai = k hoặc thông báo không tìm thấy k trong dãy. Vị trí của 21 trong dãy là 6 (không tìm thấy 25)

2. Ý tưởng

Sử dụng tính chất dãy A đã sắp xếp tăng, ta tìm cách thu hẹp nhanh vùng tìm kiếm bằng cách so sánh k với số hạng ở giữa phạm vi tìm kiếm (agiữa), khi đó chỉ xảy ra một trong ba trường hợp:

Nếu agiữa= k thì tìm được chỉ số, kết thúc;

Nếu agiữa > k thì việc tìm kiếm thu hẹp chỉ xét từ ađầu (phạm vi) (rightarrow) agiữa – 1;

Nếu agiữa < k việc tìm kiếm thu hẹp chỉ xét từ agiữa + 1 (rightarrow) acuối (phạm vi).

Quá trình trên được lặp lại cho đến khi tìm thấy khóa k trên dãy A hoặc phạm vi tìm kiếm bằng rỗng.

3. Xây dựng thuật toán a) Cách liệt kê

Bước 1: Nhập N, các số hạng a1, a2,…, aN và giá trị khoá k;

Bước 2: Đầu (leftarrow) 1; Cuối (leftarrow) N;

Bước 3: Giữa [(Đầu+Cuối)/2];

Bước 4: Nếu aGiữa = k thì thông báo chỉ số Giữa, rồi kết thúc;

Bước 5: Nếu aGiữa > k thì đặt Cuối = Giữa – 1 rồi chuyển sang bước 7;

Bước 6: Đầu (leftarrow) Giữa + 1;

Bước 7: Nếu Đầu > Cuối thì thông báo không tìm thấy khóa k trên dãy, rồi kết thúc;

Bước 8: Quay lại bước 3.

b) Sơ đồ khối Hình 4. Sơ đồ khối thuật toán tìm kiếm tuần tự

Một Số Khái Niệm Trong Kiểm Toán

Trọng yếu và rủi ro:

1 Trọng yếu:

KN:Là một khái niệm để chỉ tầm cỡ, bản chất của các sai phạm( Kể cả bỏ sót các thông tin tài chính mà trong từng bối cảnh cụ thể ) Nếu dựa vào những thông tin đó để nhận xét và ra các quyết định thì sẽ dẫn đến ra quyết định sai lầm.

_ Nói cách khác: Một thông tin được coi là trọng yếu nếu bỏ sót hoặc sai sót thông tin đó có ảnh hưởng đến quyết định của người sử dụng thông tin

– Bước 1: Ước lượng sơ bộ ban đầu về mức trọng yếu( MP ):

+Thông qua việc tìm hiểu khách hàng, việc phân tích các báo cáo tài chính khách hàng, Kiểm toán viên đưa ra ước lượng ban đầu về tính trọng yếu. Đó là lượng trọng yếu tối đa mà kiểm toán viên cho rằng, ở trong mức đó các báo cáo tài chính có thể có những sai lầm, nhưng chưa ảnh hưởng đến quan điểm và người sử dụng thông tin đó.

+Chú ý của kiểm toán viên:

(+)Tính trọng yếu là một khái niệm tương đối hơn là một khái niệm tuyệt đối.

(+)Nó phụ thuộc vào từng bối cảnh cụ thể và yêu cầu của pháp luật.

(+)Tính hai mặt của trọng yếu ( Định tính và định lượng của trọng yếu )

-Bước 2:Phân bổ mức trọng yếu cho các bộ phận, cac khoản mục của báo cáo tài chính, hình thành nên mức trọng yếu cho từng khoản mục, từng bộ phận gọi là những lỗi có thể bỏ qua, có thể tha thứ ( TE)

-Tầm quan trọng của khoản mục

-Mức độ rủi ro của khoản mục

-Bước 3; Ước tính tổng sai sót trong từng bộ phận từng khoản mục:

-Khi tiến hành kiểm toán các khoản mục, các bộ phận. Kiểm toán viên sẽ áp dụng kỹ thuật chọn mẫu dựa vào những sai phạm của mẫu để ước lượng ra những sai phạm của khoản mục, của bộ phận, sai phạm này được gọi là phạm dự kiến (PE)

-Bước 4: Ước tính sai số kết hợp của toàn báo cáo tài chính dựa vào sai số ước tính hay PE của các khoản mục. Kiểm toán viên tổng hợp sai số, kết hợp toàn báo cáo tài chính.

_Bước 5: So sánh sai số kết hợp của toàn báo cáo tài chính trong bước 4 với bước 1. Việc so sánh này giúp kiểm toán viên đánh giá được, tổng sai phạm của toàn báo cáo tài chính có vượt quá giới hạn về mức trọng yếu của toàn báo cáo tài chính hay không. Kết hợp với việc so sánh ở bước 3 của từng khoản mục. Sẽ giúp kiểm toán viên đưa ra phán quyết chấp nhận toàn bộ, chấp nhận từng phần, không chấp nhận đối với các báo cáo tài chính.

2 Rủi ro: là rủi ro mà kiểm toán viên đưa ra những ý kiến không xác đáng về các thông tin được kiểm toán và đó là các sai phạm trọng yếu.

-Không xác đáng:

+Đưa ra chấp nhận hoàn toàn BCTC, Mặc dù các báo cáo tình chính có các sai phạm trọng yếu.

+Đưa ra ý kiến không chấp nhận mặc dù BCTC không có sai phạm mang tính trọng yếu. Làm ảnh hưởng đến các bên: Ngân hàng, nhà đầu tư, DN.

-Nguyên nhân của rủi ro kiểm toán chịu ảnh hưởng bởi 3 loại rủi ro:

L1: Rủi ro tiềm tàng:(IR) Khả năng các thông tin được kiểm toán có chứa đựng những sai phạmkhi tính riêng biệt hoặc khi tính gộp với các sai phạm khác cho dù có hay không có kiểm soát nội bộ.

L2: Rủi ro kiểm soát ( CR)Là khả năng trong đó các sai phạm trọng yếu trong các thông tin được kiểm toán đ* không được hệ thống kiểm soát nội bộ ngăn ngừa, phát hiện, sửa chữa. Điều này phụ thuộc vào hệ thống kiểm soát nội bộ: Trình độ, ý thức, của ban giám đốc cụ thể là cơ cấu tổ chức, nhân sự, kiểm toán nội bộ, tính đầy đủ và hợp lý của các thủ tục kiểm soát…

L3: Rủi ro phát hiện (DR)Mà kiểm toán viên không phát hiện ra các sai phạm trọng yếu trong các thông tin được kiểm toán khi chúng nằm riêng biệt hoặc khi tính gộp với các sai phạm khác.

-Phụ thuộc vào trình độ năng lực của kiểm toán viên, lựa chọn phương pháp kiểm toán sai, khi có gian lận từ phía ban giám đốc.

-Rủi ro tiềm tàng và rủi ro kiểm soát là những rủi ro gắn liền với quá trình hoạt động của doanh nghiệp nó luôn xảy ra cho dù có tiến hành hoạt động kiểm toán hay không . Rủi ro tiềm tàng và rủi ro kiểm soát có ảnh hưởng đến rủi ro phát hiện và vì vậy ảnh hưởng tới rủi ro kiểm toán.

Mối quan hệ này được thể hiện thông qua mô hình rủi ro kiểm toán và ma trận rủi ro phát hiện.

-Mô hình rủi ro kiểm toán:

AR = IR + CR + DR

AR mức chấp nhận được.

-Kiểm toán viên đánh giá IR cao, CR cao ( HTKSNB không hiệu quả ) để có được mức rủi ro kiểm toán AR nhỏ ở mức chấp nhận được kiểm toán viên sẽ phải mở rộng phạm vi kiểm toán, tăng cường các thủ tục kiểm toán để nhằm giảm tối thiểu DR.

*Ma trận rủi ro phát hiện:

3 Bằng chứng kiểm toán:

a KN: Là tất cả các thông tin tài liệu thu thập được để làm cơ sở cho những ý kiến nhận xét của mình trên BCKT.

-Dựa và bằng chứng để chứng minh cho BCKT thực chất của giai đoạn kiểm toán là kiểm toán viên đi tìm kiếm bằng chứng.

-b, Các cơ sở bằng chứng kiểm toán .

-Để có thể làm cơ sở cho bằng chứng kiểm toán thì bằng chứng kiểm toán phải đạt được những yêu cầu nhất định về số lượng và chất lượng . Kiểm toán sử dụng hai thuật ngữ về tính thích hợp và tính đầy đủ cả hai yêu cầu trên :

+ Thích hợp : Dùng để chỉ chất lượng và độ tin cậy của bằng chứng . Các nhân tố ảnh hưởng đến tính thích hợp . Phụ thuộc vào nguồn gốc của bằng chứng , nói đến tính độc lập của bằng chứng . Bằng chứng càng có nguồn gốc độc lập thì càng đáng tin cậy . Phụ thuộc vào dạng của bằng chứng , phụ thuộc vào hiệu qủa của kiểm soát nội bộ .

+ Đầy đủ : Dùng để chỉ số lượng của các bằng chứng mà kiểm toán viên phải thu thập ( Không có thước đo chung) đủ là để thuyết phục , nhân tố ảnh hưởng đến đầy đủ : Tính thích hợp là bằng chứng đáng tin cậy , số lượng ít thì coi là đủ .

– Tính trọng yếu của thông tin : TRọng yếu cao thì bằng chứng phải nhiều .

4_ Kĩ thuật thu thập bằng chứng :

4.1 Kiểm tra đối chiếu : Kiểm toán viên trực tiếp kiểm tra đối chiếu xem sét các văn bản , tài liệu , sở sách kế toán , và các tài sản vật chất hữu hình , để xác định tính đúng đắn của các sổ sách cũng như giá trị và quyền sở hữu của tài sản hữu hình .

+Có hai loại kiểm tra đối chiếu :

– Đối chiếu vật chất : Kiểm toán viên trực tiếp tham gia và chứng kiến kiểm kê , về các tài sản vật chất , hàng tồn kho , tiền mặt tại quỹ chúng tôi mang lại bằng chứng vật chất đáng tin cậy nhưng không biết giá trị của tài sản được kiểm kê , không chứng minh được quyền sở hữu của tài sản . Vì vậy dạng bằng chứng này thường phát đi kèm với tài liệu .

– Kiểm tra tài liệu : Giữa chứng từ với sổ sách kế toán , giữa sổ sách với báo cáo kinh tế , giữa các loại báo cáo kinh tế với nhau , giữa báo cáo kỳ này với kỳ trước .

4.2- Quan sát : kiểm toán viên tận mắt quan sát quá trình sử lý nghiệp vụ của các nhân viên của doanh nghiệp .

– Bằng chứng khách quan : Đáng tin cậy , nhìn thấy vẫn chưa đáng tin cậy , vì nó mang tính nhất thời , thời điểm và nó không thường diễn ra như vậy .

– Trả lời bằng văn bản

– Chỉ trả lời nếu thông tin cần xác nhận là trái ngược

4.4 – Phỏng vấn : Kiểm toán viên trực tiếp trò truyện chao đổi với các nhân viên của doanh nghiệp , mang lại bằng chứng dạng lời nói . Phải chọn đối tượng nào . Nhiều hay ít người , làm thế nào để phỏng vấn .

4.5- Tính toán : Tự mình tính toán lại các phép tính về số học đáng tin cậy .

4.6- Phân tích : Là sự đánh gía các thông tin tài chính của doanh nghiệp thông qua việc nghiên cứu mối quan hệ giữa các thông tin tài chính với nhau và với các thông tin phi tài chính . so sánh thông tin tài chính kỳ này với kỳ trước …

4.7- Xét đoán bằng chứng : ở giai đoạn thể hiện cao nhất về trình độ, năng lực , bản lĩnh của kiểm toán viên trong từng bối cảnh cụ thể và khi xét đoán kiểm toán viên cần hết sức thận trọng .Bằng chứng chưa đủ tin cậy thì không sử dụng . Còn nếu đ* sử dụng thì bất kể nó thuộc nguồn nào . kiểm toán viên đều phải chịu đến cùng về những nhận xét trên các báo cáo kiểm toán .

4.8- Bằng chứng đặc biệt :

– Tài liệu của kế toán viên nội bộ .

– Tài liệu của kết toán viên khác .Đặc biệt là tài liệu của kiểm toán viên khác đã kiểm tra trước .

– Ý kiến của các chuyên gia .

– Thư giải trình của các nhà quản lý

5 – Các loại kế toạn kiểm toán

a-Khái niệm : Báo cáo kiểm toán là văn bản được kiểm toán viên phát hành để trình bày ý kiến của mình về những thông tin được kiểm toán . Báo cáo kiểm toán là sản phẩm cuối cùng của công việc kiểm toán và có vai trò hết sức quan trọng .

b – Vai trò của báo cáo kiểm toán :

– Đối với kiểm toán viên , báo cáo kiểm toán là sản phẩm của kiểm toán viên cung cấp cho xã hội , nên họ chịu chách nhiệm về ý kiến của mình .

– Đối với người sử dụng thông tin được kiểm toán , báo cáo kiểm toán là căn cứ để họ đánh giá các thông tin này và đưa ra các quyết định kinh tế . Để đảm bảo vai trò này , báo cáo phải rõ ràng , rễ hiểu để không gây các hiểu lầm .

– Đối với đơn vị được kiểm toán , trong một số trường hợp ví dụ như kiểm toán hoạt động – báo cáo kiểm toán va bảng kiến nghị về công tác quản lý nếu có còn là căn cứ để đánh gía và cải tiến hoạt động của đơn vị nói chung , kiểm toán nội bộ của công tác kế toán tài chính nói giêng .

C. Các loại báo cáo :

– Báo cáo kiểm toán chấp nhận toàn bộ : Kiểm toán viên đưa ra ý kiến chấp nhận toàn bộ các thông tin kiểm toán trên tất cả các khía cạnh trọng yếu .

– Báo cáo kiểm toán chấp nhận từng phần : Kiểm toán viên đưa ra ý kiến chấp nhận từng phần đối với các thông tin được kiểm toán. Phần chưa chấp nhận được thuộc hai dạng sau đây :

+ Dạng tuỳ thuộc : khi kiểm toán viên bị giới hạn về phạm vi kiểm toán , hoặc là các bằng chứng tài liệu quá mập mờ , khiến kiểm toán viên chưa thể đưa ra những nhận xét , nhưng cũng chưa đến mức ghi rõ ý kiến từ bỏ .

+ Dạng ngoại trừ khi có sự bất đồng kiểm toán viên với nhà quản lý về thông tin đó , nhưng trong quá trình kiểm toán không bị giới hạn phạm vi .

– Báo cáo kiểm toán đưa ra ý kiến trái ngược hay không chấp nhận khi có sự bất đồng lơn giữa kiểm toán viên và các nhà quản lý .

– Báo cáo kiểm toán từ chỗ đưa ra ý kiến khi phạm vi kiểm toán bị giới hạn ngiêm trọng hoặc các bằng chứng , các tài liệu quá mập mờ , khiến kiểm toán viên không kiểm toán theo chương trình đ* định từ chối đưa ra báo cáo .

Khái Niệm Và Các Định Nghĩa Của Xác Suất Trong Toán Học

Quan sát các hiện tượng tự nhiên ta thấy có những hiện tượng thường xảy ra, có những hiện tượng ít xảy ra. Các định nghĩa của xác suất sẽ giúp chúng ta hiểu hơn xác suất là một đại lượng thể hiện mức độ xảy ra (thường xuyên hay ít khi) của một biến cố. Trong lịch sử Toán học đã có nhiều định nghĩa cho khái niệm xác suất.

Định nghĩa cổ điển về xác suất

Cho A1, A2, …, An là nhóm các biến cố đầy đủ và có cùng khả năng xảy ra. Khi đó xác suất để xảy ra biến cố Ai là: P(Ai) = 1/n

Nếu biến cố A nào đó là tổng của m biến cố thuộc nhóm các biến cố đầy đủ trên thì xác suất của biến cố A là: P(A) = m/n

Xác suất xuất hiện biến cố A là tỷ số giữa số các trường hợp thuận lợi để biến cố A xảy ra và số trường hợp cùng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Nếu ký hiệu P(A) là xác suất của biến cố A, m là số trường hợp thuận lợi cho biến cố A, n là số trường hợp cùng khả năng có thể xảy ra thì ta có công thức: P(A) = m/n = số trường hợp thuận lợi để A xảy ra / Số trường hợp cùng khả năng có thể xảy ra.

Để hiểu rõ về các định nghĩa của xác suất nói chung cũng như xác suất cổ điển nói riêng, chúng ta sẽ nghiên cứu ví dụ cụ thể dưới đây:

Từ 1 hộp có 13 bi đỏ và 7 bi trắng có kích thước như nhau, rút ngẫu nhiên 1 bi. Khi đó:

Xác suất để rút được bi đỏ là: P(D) = 13/12 = 0.65

Xác suất để rút được bi trắng là: P(T) = 7/20 = 0.35

Định nghĩa thống kê về xác suất

Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện. Nêu ký hiệu phép thử là n, số lần xuất hiện biến cố A là k, tần suất xuất hiện biến cố A là: f(A) = k/n

Cùng với khái niệm xác suất, khái niệm tần suất là một trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất.

Thí dụ 1: Khi khảo sát ngẫu nhiên 40 sinh viên người ta phát hiện ra 5 sinh viên giỏi. Nếu gọi A là biến cố “xuất hiện sinh viên giỏi” thì tần suất xuất hiện sinh viên giỏi trong số 40 SV được khảo sát là: f(A) = 5/40 = 1/8

Thí dụ 2: Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu, người ta tiến hành tung đồng xu nhiều lần và thu được kết quả cho ở bảng dưới đây:

Từ kết quả các lần thử trên ta thấy khi số phép thử tăng lên, tần suất xuất hiện mặt sấp tiến dần đến 0,5 là xác suất xuất hiện mặt sấp khi tung đồng xu. Vậy tần suất tiến dần đến xác suất khi số phép thử tăng dần đến vô hạn.(Vấn đề này sẽ được tìm hiểu kỹ hơn khi học về luật số lớn). Từ đó ta có định nghĩa thống kê về xác suất.

Khi số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất xuất hiện biến cố tiến dần đến một số xác định được gọi là xác suất của biến cố đó. Hay nói cách khác, xác suất là giới hạn của tần suất khi số phép thử tăng lên vô hạn.

Định nghĩa thống kê về xác suất có ưu điểm lớn là nó không đòi hỏi những điều kiện áp dụng như đối với những định nghĩa cổ điển. Nó hoàn toàn dựa trên các quan sát thực tế để làm cơ sở kết luận về xác suất xảy ra của một biến cố.

Tuy nhiên trong thực tế không thể tiến hành vô hạn phép thử, nhưng đối với số phép thử đủ lớn ta có thể xem xác suất xấp xỉ bằng tần suất. Các định nghĩa của xác suất trên đây đã được minh họa chi tiết hi vọng bạn đã nắm được khái niệm cơ bản này.

Khi số phép thử n(Ω) là vô hạn, ta không thể áp dụng định nghĩa cổ điển để tính xác suất. Trong nhiều trường hợp, ta có thể sử dụng định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học như sau:

Định nghĩa xác suất theo hình học

Giả sử một điểm được rơi ngẫu nhiên vào một miền D, A là một mền con của D. Khi đó xác suất để điểm rơi ngẫu nhiên vào miền A được xác định bởi công thức: P(A) = sd(A)/sd(D)

Trong đó sd(A), sd(D) là số đo của miền A, D (có thể là độ dài, diện tích hay thể tích tùy thuộc vào miền xét trên đường thẳng, mặt phẳng hay trong không gian 3 chiều theo từng bài toán cụ thể).

Ta xem xét định nghĩa thông qua một ví dụ điển hình – ” Bài toán gặp gỡ”

Hai người bạn hẹn gặp nhau tại một địa điểm đã định trước trong khoảng thời gian từ 19 đến 20 giờ. Hai người đến chổ hẹn độc lập với nhau và qui ước rằng người đến trước sẽ chỉ đợi người đến sau 10 phút, nếu không gặp thì sẽ đi. Tính xác suất để hai người có thể gặp nhau?

Giải:

Gọi A là biến cố hai người gặp nhau.

Gọi x là số phút tại thời điểm người thứ nhất đến điểm hẹn: 0 ≤ x ≤ 60.

Gọi y là số phút lúc người thứ hai đến điểm hẹn: 0 ≤ y ≤ 60.

Nếu ta biểu diễn số phút x theo trục hoành và số phút y theo trục tung.

Như vậy số phút lúc đến của cả hai người được biểu diễn bằng một điểm có tọa độ (x, y) nằm trong hình vuông có cạnh là 60 (ta lấy phút làmđơn vị). Đó chính là miền D.

D = {(x,y): 0 ≤x ≤ 60; 0 ≤ y ≤ 60}

Để hai người gặp nhau thì số phút lúc đến x, y của mỗi người phải thỏa mãn điều kiện: Ix-yI < hoặc bằng 10

Như vậy các điểm (x, y) thích hợp cho việc gặp nhau là các điểm nằm trong phần A có gạch chéo nằm giữa hai đường thẳng y = x – 10 và y = x + 10

Từ định nghĩa xác suất hình học, ta thấy rằng một biến cố có xác suất bằng 0 vẫn có thể xảy ra. Chẳng hạn, xác suất để một viên đạn rơi trúng một điểm M trên một miền D bằng không (vì diện tích S(A) bằng diện tích điểm M, bằng 0), nhưng biến cố đó vẫn có thể xảy ra.

Các tính chất của xác suất

Từ các định nghĩa của xác suất đã nêu trên ta có thể suy ra các tình chất của xác suất:

Nếu A thuộc A thì P(A) <= P(B), P( B A) = P(B)-P(A)

Nếu A là biến cố bất kỳ thì: 0 ≤ P(A) ≤ 1

Xác suất của biến cố chắc chắn bằng một: P(U) = 1

Xác suất của biến cố không thể có bằng không: P(V) = 0

Nếu Aclà phần bù của biến cố A thì: P(Ac) = 1 – P(A)

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì: P(A U B) = P(A) + P(B)

Nếu A, B là 2 biến cố bất kỳ thỉ: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Tổng quát, nếu A, B, C là 3 biến cố bất kỳ thì: P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(B ∩ C) – P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C)

Ví dụ 1: Một nhóm sinh viên gồm 15 người, trong đó có 6 sinh viên cùng quê ở Đà Nẵng, 4 sinh viên cùng quê Tiền Giang và 5 bạn còn lại ở TP.HCM. Cả 15 bạn đứng sau 15 cánh cửa giống nhau được đánh số từ 1 đến 15. Bạn hãy chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 cửa. Tìm xác suất để:

Cả 3 sinh viên đứng sau cánh cửa đó đều cùng quê (A).

Có đúng 2 sinh viên cùng quê (B).

Có ít nhất 2 sinh viên cùng quê (C).

Không có sinh viên nào là đồng hương.

Lời giải:

a/ Ký hiệu Ad : ” Ba sinh viên được chọn cùng ở Đà Nẵng”.

At : ” Ba sinh viên được chọn cùng ở Tiền Giang”:.

Ah : “Ba sinh viên được chọn cùng ở Tp.HCM”.

Khi đó, Ad, At, Ah đôi một xung khắc nhau và do chỉ chọn ngẫu nhiên 1 lần 3 cửa nên A = Ad + At + Ah . Nên theo tính chất của xác suất, chúng ta có: P(A) = P(Ad) + P(At) + P(Ah)

b/ Tương tự với ký hiệu:

Bd : “Trong 3 sinh viên có 2 SV cùng quê Đà Nẵng”.

Bt : “Trong 3 SV có 2 SV cùng quê Tiền Giang”.

Bh :”Trong 3 SV có 2 SV cùng quê TpHCM”.

Khi đó: P(B) = P(Bd) + P(Bt) + P(Bh)

c/ P(C) = P(A) + P(B) = 34/455 + 301/455 + 335/455 = 0.7363

d/ D = C nên P(D) = 1 – P(C) = 1- 335/455 = 0.2637