Định Nghĩa Hàm Số Khả Vi Tại 1 Điểm / Top 17 Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 9/2023 # Top Trend

Ta đã biết rằng khái niệm đạo hàm riêng cho chúng ta biết được tốc độ thay đổi của hàm số khi cho 1 trong các biến số thay đổi giá trị. Bây gờ, chúng ta sẽ nghiên cứu sự thay đổi của hàm số 2 biến khi cho cả hai biến số thay đổi.

Xét hàm số và là điểm thuộc miền xác định D. Ta cho x, y thay đổi 1 lượng tương ứng sao cho . Khi đó, giá trị của hàm số sẽ thay đổi một lượng:

Hàm số f(x;y) được gọi là khả vi tại điểm nếu số gia toàn phần có thể biểu diễn được dưới dạng:

(1)

trong đó A, B là những số không phụ thuộc Δx, Δy; còn α, β → 0 khi Δx, Δy → 0

Khi đó, đại lượng A.Δx +B.Δy được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x;y) tại ứng với các số gia Δx, Δy và được ký hiệu

Xét hàm số . Ta có:

Hay:

Do đó:

Cho nên hàm số khả vi tại và

1. Xét ,

Cho thì . Khi đó, áp dụng bất đẳng thức B.C.S và giới hạn kẹp ta có:

Do đó, ε là VCB khi ρ → 0.

Vì vậy, biểu thức (1) có thể viết dưới dạng:

, 0(ρ) là vô cùng bé bậc cao hơn ρ.

2. Ta không thể dùng định nghĩa để xét sự khả vi của hàm số như ở ví dụ 1 được. Tổng quát, chỉ có thể áp dụng định nghĩa để xét sự khả vi cho những hàm số dạng đa thức, còn các hàm số khác thì không thể dùng định nghĩa để khảo sát sự khả vi tại 1 điểm. Vì vậy, ta cần phải tìm một công cụ khác để giải quyết vấn đề này.

3. Hàm số được gọi là khả vi trên miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D.

2. Định lý 1: (Điều kiện cần để hàm số khả vi)

Nếu hàm số khả vi tại thì nó liên tục tại điểm đó.

Vì hàm số khả vi, nên từ công thức (1) ta có:

Vậy:

Do đó, hàm số liên tục tại .♦

1. Nếu hàm số f(x;y) không liên tục tại thì sẽ không khả vi tại điểm đó.

2. Hàm số khả vi trên miền D thì liên tục trong miền đó.

Nếu f(x;y) khả vi tại thì nó có các đạo hàm riêng tại và chúng tương ứng bằng A và B trong biểu thức 1 của định nghĩa hàm số khả vi.

Thật vậy, từ công thức (1) ta cho , ta được:

trong đó α →0 khi Δx → 0.

Do đó:

Vậy

Hoàn toàn tương tự ta có:

1. Như vậy, nếu hàm số f(x,y) khả vi tại thì vi phân toàn phần của hàm số tại được xác định bởi:

2. Khác với hàm số 1 biến (nếu hàm số có đạo hàm thì sẽ khả vi), nếu hàm số hai biến số f(x,y) có các đạo hàm riêng tại $latex(x_0;y_0) thì chưa chắc nó đã khả vi tại điểm đó. Ta xét hàm số sau:

Theo định nghĩa đạo hàm riêng, ta có:

Tương tự ta có: nhưng hàm số G(x;y) không liên tục tại (0; 0) ( xem phần giới hạn hàm nhiều biến) nên không khả vi tại (0;0)

4. Định lý 3 (Điều kiện đủ để hàm số khả vi)

Cho hàm số f(x;y) có các đạo hàm riêng trong một miền D chứa điểm . Nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M thì hàm số khả vi tại điểm đó.

1. Cho hàm:

Tính và . Hàm có khả vi tại (0;0) hay không?

Giải

Để tính các đạo hàm riêng tại (0;0) ta phải dùng định nghĩa mà không thể thế giá trị (0;0) vào biểu thức đạo hàm

Ta có:

tương tự: = =

Mặc dù, hàm số có 2 đạo hàm riêng tại (0;0) nhưng không khả vi tại điểm đó vì hàm số đã cho không liên tục tại (0;0). Thật vậy: xét điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường thẳng y = kx ta có.

Vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào hệ số k nện giới hạn không tồn tại.

Do đó:

Nên hàm số không liên tục tại (0;0) và do đó nó không khả vi tại (0;0)

2. Tìm vi phân của hàm số:

Hàm số luôn xác định và liên tục với mọi nên khả vi tại mọi điểm . Khi đó ta có:

Đôi lời

GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN*CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN*CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘI*CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG*CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT*CHƯƠNG V: CHUỖI SỐ – CHUỖI LŨY THỪACHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN*§1: Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục*§2: Đạo hàm riêng*§3: Khả vi và Vi phân*§4: Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp

*§5: Đạo hàm riêng và vi phân hàm ẩn*§6: Công thức Taylor – Maclaurint*§7: Cực trị hàm nhiều biến : Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, GTLN-GTNN trong miền đóng§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Miền xác định của hàm là tất cả các giá trị của (x,y) làm biểu thức của hàm có nghĩaMiền giá trị của hàm là tập các giá trị mà hàm có thể nhận đượcHàm 2 biến f(x,y) là ánh xạ f : D → RĐịnh nghĩa hàm 2 biến : Cho D là tập con của R2Hàm 2 biến f(x,y) là ánh xạ f : D → RĐịnh nghĩa hàm 2 biến : Cho D là tập con của R2( , ) ( , )x y f x y z=a§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Ví dụ : Tìm MXĐ, MGT của hàm 2 2( , ) 9f x y x y= – –MGT là đoạn [0,3]MXĐ là hình tròn { }2 2 2( , ) : 9D x y R x y= Î + £§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục MXĐ 33MGT30f(x,y)(x,y)§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Giải :a. f(2,1) = 2Ví dụ: Cho hàm

Slide 1HÀM SỐ LIÊN TỤCBài 3Slide 2nếu x  1nếu x < 1Tính giá trị của mỗi hàm số tại x = 1 và so sánh với giới hạn (nếu có) của hàm số đó khi x  1. Ví dụ mở đầuCho hai hàm sốvàGiảiKhông tồn tạiTa có ++I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM: Slide 3nếu x  1nếu x < 1Vẽ đồ thị hàm số Không tồn tạiI. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM: 0xy221-2-10xy5221-2-1114Đồ thị là một đường liền nétĐồ thị không là một đường liền nétHàm số liên tục tại x =1 Hàm số không liên tục tại x = 1nếu x  1nếu x < 1Hàm sốliên tụctại x=1khi nào???5Slide 4I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM: 1.Định nghĩa:Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0  K.Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu: Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại x0.Slide 5Hàm số y = f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 khi có một trong ba điều sau đây xảy ra:Không tồn tạiSlide 6VD 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại x = 3:2.Ví dụ:I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM: Slide 7Vậy: Hàm số f(x) liên tục tại x0 = 3.GiảiTa có:f (3) = 6a)Hàm số f(x) xác định trên R và x = 3  R(1)(2)Slide 8Giảib)Vậy: Hàm số f(x) không liên tục tại x0 = 3.Ta có:f (3) = 5Hàm số f(x) xác định trên R và x = 3  R(1)(2)(3)+++(4)Slide 9VD 2:Tìm a để hàm số liên tục tại x = 2GiảiTa có:f (2) = aHàm số liên tục tại x = 2 Vậy a = 12 thì hàm số f (x) liên tục tại x = 2.Slide 10 Phương pháp xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại điểm x0:Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.x0 không thuộc tập xác định  f (x) không liên tục tại x0x0 thuộc tập xác định, tính f (x0)  tiếp tục bước 2Bước 2: Tìm Giới hạn không tồn tại  f(x) không liên tục tại x0Giới hạn tồn tại  tiếp tục bước 3 Bước 3: So sánh Bằng nhau  f (x) liên tục tại x0 Không bằng nhau f  (x) không liên tục tại x0 Slide 11Chào thầy cô giáo và các em học sinhBài học kết thúc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

CAO THỊ THẮM

ỨNG DỤNG TÍNH LIÊN TỤC VÀ TÍNH KHẢ VI CỦA HÀM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13

Giáo viên hướng dẫn: TS. NGUYỄN VĂN NGỌC

THÁI NGUYÊN, 2023

1

1 Hàm số liên tục và ứng dụng 1.1 Tính liên tục của hàm số . . 1.1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.2 Các tính chất cơ bản 1.2 Một số tính chất của liên tục 1.3 Nghiệm của các phương trình 1.4 Điểm bất động của hàm số . 1.5 Phương trình hàm . . . . . .

2 Hàm khả vi và ứng dụng 2.1 Đạo hàm và vi phân của hàm số . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Đạo hàm tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Đạo hàm một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Định nghĩa vi phân tại một điểm . . . . . . . . . . 2.1.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . 2.2 Các định lí về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Định lí Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Định lí Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Định lí Lagrange và Định lí Cauchy . . . . . . . . 2.3 Các bài toán về phương trình và bất đẳng thức của các hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Một số bất đẳng thức đạo hàm quan trọng . . . . . . . . 2.4.1 Công thức Taylor trên một khoảng . . . . . . . . . ii

2.4.2

Các bất đẳng thức đạo hàm quan trọng . . . . . . . 48

Kết luận

54

Tài liệu tham khảo

55

iii

đẳng thức Landau-Kolmogorow và bất đẳng thức Steklov đối với các hàm khả vi một biến. Đây là những bất đẳng thức của Toán học cao cấp chưa được trình bày trong các tài liệu bằng Tiếng Việt ở cấp độ Toán sơ cấp. Kết cấu của Luận văn gồm có: Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Hàm số liên tục và ứng dụng, trình bày khái quát về hàm số liên tục, một số tính chất chuyên sâu của hàm số liên tục, điểm bất động của các hàm liên tục và các phương trình hàm. Chương 2: Hàm khả vi và ứng dụng. Nội dung chương trình bày một số kiến thức cơ sở về đạo hàm vi phân, các định lí về giá trị trung bình. Từ các kiến thức nền tảng đó, nội dung quan trọng của chương là xét các phương trình, đẳng thức và bất đẳng thức đối với các hàm khả vi tổng quát. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS. Nguyễn Văn Ngọc- Trường Đại học Thăng Long. Từ đáy lòng mình, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên, và chỉ bảo hướng dẫn của Thầy. Em xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu và các thầy, cô trong trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóa học cao học tại Trường. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán lớp N- Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên.

2

Tính liên tục của hàm số Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1. Giả sử I ⊂ R là một khoảng hoặc hệ khoảng của trục thực và f là hàm nhận giá trị thực trong miền I. Cố định điểm x0 ∈ R ( bao hàm cả trường hợp x0 ∈ I ). Ta nói f có giới hạn l ∈ R tại x0 và viết

lim f (x) = l

x→x0

lim f (x) = f (a).

x→a+

Hàm f được gọi là liên tục trái tại a nếu

lim f (x) = f (a).

x→a−

3

lim f (x) = lim− f (x) = lim f (x) = f (a).

x→a+

x→a

x→a

Định nghĩa 1.4. Một hàm không liên tục tại a được gọi là hàm gián đoạn tại a. Định nghĩa 1.5. Hàm f liên tục tại mọi điểm x ∈ (a; b) ta nói f liên tục trên khoảng (a; b). Định nghĩa 1.6. Hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) và liên tục phải tại a , liên tục trái tại b ta nói rằng f liên tục trên [a; b].

1.1.2

Các tính chất cơ bản

1.2

Một số tính chất của liên tục

Ta có

lim f (an ) = f ( lim an ) = f (c) ≤ 0.

n→∞

n→∞

Tương tự

lim f (bn ) = f ( lim bn ) = f (c) ≥ 0,

n→∞

n→∞

5

thỏa mãn xnk → xm và

x→∞

Tương tự tồn tại xM để f (xM ) = sup f (x) = M. [a;b]

Hệ quả 1.1. Nếu f : [a; b] −→ R liên tục thì f ([a; b]) = [m; M ] ⊂ R trong đó m = inf f (x), M = sup f (x). [a;b]

[a;b]

Bài toán 1.1. ( Hàm Dirichlet). Xét tính liên tục của hàm số

f (x0 + 0) = f (x0 − 0) = 0. 6

Nếu x0 là số vô tỷ, thì f (x) = 0, nghĩa là tại điểm này hàm số là liên tục, nếu x0 là số hữu tỷ, thì f (x0 ) 6= 0, do đó có gián đoạn thông thường từ hai phía. Bài toán 1.3. Chứng minh rằng, nếu f (x) là hàm liên tục, thì

a≤ξ≤x

(1.1)

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-1ds

Cho hàm số xác định trên D, .

Cho số gia (không phân biệt dương hay âm) sao cho: . Ta gọi là số gia của hàm số .

Tìm giới hạn của tỉ số trên khi . Khi đó, giới hạn hữu hạn (nếu có) được gọi là đạo hàm của hàm số tại và ký hiệu

Như vậy:

Nếu đặt , ta có:

Tổng quát:

– Đạo hàm trái: nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm bên trái của f(x) tại . Ký hiệu

– Đạo hàm phải: nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm bên phải của f(x) tại . Ký hiệu

– Từ tính chất của giới hạn ta có định lý sau:

Hàm số f(x) có đạo hàm tại khi và chỉ khi f(x) có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại và các đạo hàm đó bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho hàm số:

Tìm

Vậy

Do đó: f(x) không có đạo hàm tại x = 1.

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

3.1 Định lý 1: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại thì f(x) liên tục tại điểm đó. (Chiều ngược lại chưa chắc đúng).

Chứng minh: do f(x) có đạo hàm tại nên:

Theo định nghĩa giới hạn, ta có ()

Từ đó:

Do nên: là VCB cấp cao hơn khi

Vì vậy:

Nghĩa là:

Hay:

Vậy: f(x) liên tục tại

– Chiều ngược lại không chắc đúng: ta xét lại ví dụ 1 ở trên. Rõ ràng, hàm f(x) liên tục tại x = 1 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

– Phản ví dụ 2: Xét hàm số liên tục trên R nhưng không có đạo hàm tại x = 0.

Nếu u(x) và v(x) là các hàm có đạo hàm tại x thì tổng, hiệu, tích thương cũng có đạo hàm tại x và ta có các công thức:

1.

2.

3.

Nếu có đạo hàm tại và xác định trong một khoảng chứa và có đạo hàm tại . Khi đó: hàm có đạo hàm tại và

Tổng quát:

Ta có:

trong đó khi

Viết lại đẳng thức (*) ta có: (2)

Chia 2 vế của (3) cho ta có:

Mặt khác, do : nên thì

Mà: (5)

Do đó: từ (3), (4), (5) ta có:

.

Cho hàm số y = f(x) liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến) trong khoảng (a,b). Nếu f(x) có đạo hàm tại và thì hàm ngược của f(x) cũng có đạo hàm tại và:

Vì f(x) là hàm đồng biến (nghịch biến) trong khoảng (a,b) nên tồn tại duy nhất hàm ngược

Cho . do f(x) là hàm liên tục nên: , hay

Lấy giới hạn của (*) khi . ta có:

(dpcm)

Ví dụ 1: Cho Tính

Ta có:

Theo công thức (3.4), ta có:

Mà do

Nên:

Ví dụ 2: Cho . Tìm

Ta có:

Nên:

Lại có:

Suy ra:

Ví dụ 3: Cho . Tính

tương tự:

Suy ra:

Ví dụ 4: Cho . Tìm y’?

Ta có:

Lại có:

Đôi lời

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.