Chứng Minh 3 Định Luật Kepler / Top 15 Xem Nhiều Nhất & Mới Nhất 10/2023 # Top Trend

Định luật thứ ba có thể được sử dụng để xác định khoảng cách của một hành tinh từ Mặt trời nếu người ta biết chu kỳ quỹ đạo của nó, hoặc ngược lại. Đặc biệt, nếu thời gian được đo bằng năm và khoảng cách theo đơn vị của trục bán nguyệt của quỹ đạo Trái đất (tức là khoảng cách trung bình của Trái đất đến Mặt trời, được gọi là đơn vị thiên văn , hoặc AU), định luật thứ ba có thể được viết 2 = a 3 , trong đó τ là chu kỳ quỹ đạo.

Định luật thứ hai của Kepler cũng được minh họa trong Hình 1 . Nếu thời gian cần thiết để hành tinh di chuyển từ P đến F bằng với thời gian di chuyển từ D đến E , thì diện tích của hai vùng được tô bóng sẽ bằng nhau theo định luật thứ hai. Hiệu lực của định luật thứ hai có nghĩa là một hành tinh phải có vận tốc trung bình cao hơn gần điểm cận nhật và vận tốc thấp hơn vận tốc trung bình gần điểm cận nhật. Các vận tốc góc (tốc độ thay đổi của góc f ) phải thay đổi xung quanh quỹ đạo trong một cách tương tự. Vận tốc góc trung bình, được gọi là chuyển động trung bình, là tốc độ thay đổi của sự bất thường có nghĩa là l định nghĩa ở trên.

An ellipse ( Hình 1 ) là một đường cong mặt phẳng được xác định sao cho tổng khoảng cách từ điểm G bất kỳ trên ellipse đến hai điểm cố định ( S và S ′ trong Hình 1 ) là không đổi. Hai điểm S và S ′ được gọi là foci , và đường thẳng mà các điểm này nằm giữa các điểm cực trị của elip tại A và P được gọi là trục chính của elip. Do đó, G S + G S ′ = A P = 2 a trong Hình 1 , trong đó a là trục bán nguyệt của hình elip. Tiêu điểm được ngăn cách với tâm C của hình elip bởi phần nhỏ của trục bán kính cho bởi tích a e , trong đó e <1 được gọi là độ lệch tâm . Như vậy, e = 0 tương ứng với một đường tròn. Nếu Mặt trời ở tiêu điểm S của hình elip, thì điểm P mà hành tinh gần Mặt trời nhất được gọi là điểm cận nhật và điểm xa nhất trong quỹ đạo A là sự mơ hồ . Thời hạn helion đề cập cụ thể đến Mặt trời như là thiên thể chính mà hành tinh quay quanh. Vì các điểm P và A còn được gọi là apses, periapse và apoapse thường được sử dụng để chỉ định các điểm tương ứng trong quỹ đạo về bất kỳ thiên thể chính nào, mặc dù các thuật ngữ cụ thể hơn, chẳng hạn như perigee và apogee cho Trái đất , thường được sử dụng để chỉ các thân hình. Nếu G là vị trí tức thời của một hành tinh trên quỹ đạo của nó, thì góc f , được gọi là điểm dị thường thực sự , xác định vị trí điểm này so với điểm cận nhật P với Mặt trời (hoặc tiêu điểm S ) là điểm gốc hoặc đỉnh của góc. Góc u , được gọi là lập dị bất thường , cũng nằm G tương ứng với P nhưng với trung tâm của elip là nguồn gốc chứ không phải là trọng tâm S . Một góc được gọi là độ bất thường trung bình l (không được chỉ ra trong Hình 1) cũng được đo từ P với S là gốc; nó được xác định là tăng đồng đều theo thời gian và bằng với dị thường thực sự f ở điểm cận nhật và điểm cận nhật.

Những quan sát của Tycho đã được kế thừa bởi Johannes Kepler (1571–1630), người được Tycho làm việc không lâu trước khi ông qua đời. Từ những vị trí chính xác này của các hành tinh vào những thời điểm chính xác tương ứng, Kepler đã xác định bằng thực nghiệm ba định luật nổi tiếng của mình mô tả chuyển động của hành tinh: (1) quỹ đạo của các hành tinh là hình elip với Mặt trời tại một tiêu điểm; (2) đường hướng tâm từ Mặt trời đến hành tinh quét ra các diện tích bằng nhau trong thời gian bằng nhau; và (3) tỷ lệ bình phương của các chu kỳ quay quanh Mặt trời của hai hành tinh bất kỳ bằng tỷ lệ của các hình lập phương của các trục semimajor của các elip quỹ đạo tương ứng của chúng.

Các định luật thực nghiệm của Kepler mô tả chuyển động của hành tinh, nhưng Kepler không cố gắng xác định hoặc hạn chế các quá trình vật lý cơ bản chi phối chuyển động. Nó đãIsaac Newton , người đã hoàn thành kỳ tích đó vào cuối thế kỷ 17. Newton định nghĩađộng lượng tỷ lệ thuận với vận tốc với hằng số tỷ lệ thuận được định nghĩa là khối lượng. (Như đã mô tả trước đó, động lượng là một đại lượng vectơ theo nghĩa là hướng chuyển động cũng như độ lớn được bao gồm trong định nghĩa.) Sau đó Newton định nghĩaLực (cũng là một đại lượng vectơ) về tác dụng của nó đối với các vật chuyển động và trong quá trình này, nó đã hình thành ba định luật chuyển động: (1)động lượng của một vật là không đổi trừ khi bên ngoàilực tác dụng lên vật; điều này có nghĩa là bất kỳ vật thể nào vẫn đứng yên hoặc tiếp tục chuyển động thẳng đều trên một đường thẳng trừ khi bị tác động bởi một lực. (2) Tốc độ biến thiên theo thời gian của động lượng của vật bằng hợp lực tác dụng lên vật. (3) Đối với mọitác dụng (lực) có phản lực (lực) bằng nhau và ngược chiều. Luật thứ nhất được coi là một trường hợp đặc biệt của luật thứ hai.Galileo , người cùng thời với Kepler người Ý, người đã áp dụng quan điểm Copernicus và thúc đẩy nó một cách mạnh mẽ, đã dự đoán hai định luật đầu tiên của Newton với các thí nghiệm của ông trong cơ học . Nhưng chính Newton là người đã định nghĩa chúng một cách chính xác, thiết lập cơ sở của cơ học cổ điển, và tạo tiền đề cho ứng dụng của nó như cơ học thiên thể đối với chuyển động của các thiên thể trong không gian .

Theo định luật thứ hai, một lực phải tác động lên một hành tinh để làm cho đường đi của nó cong về phía Mặt trời. Newton và những người khác lưu ý rằng gia tốc của một vật thể trong chuyển động tròn đều phải hướng về tâm của vòng tròn; hơn nữa, nếu một số vật thể chuyển động tròn xung quanh cùng một tâm ở các khoảng cách khác nhau r và chu kỳ quay của chúng thay đổi là r 3/2 , như định luật thứ ba của Kepler đã chỉ ra cho các hành tinh, thì gia tốc — và do đó, theo định luật thứ hai của Newton, lực cũng vậy — phải thay đổi 1 / r 2. Bằng cách giả định lực hấp dẫn này giữa các khối lượng điểm, Newton đã chỉ ra rằng một khối cầu phân bố đối xứng đã thu hút một vật thể thứ hai bên ngoài quả cầu như thể tất cả khối lượng phân bố đều nằm trong một điểm ở tâm quả cầu. Do đó, lực hút của các hành tinh bởi Mặt trời giống nhưhấp dẫn lựchút các vật vào Trái đất. Newton tiếp tục kết luận rằng lực hút giữa hai vật thể khối lượng lớn tỷ lệ thuận với bình phương nghịch đảo của sự phân tách của chúng và với tích của khối lượng của chúng, được gọi làluật vạn vật hấp dẫn . Định luật Kepler có thể suy ra từ định luật Newton chuyển động với lực hấp dẫn trung tâm thay đổi 1 / r 2 từ một điểm cố định, và định luật hấp dẫn Newton có thể suy ra từ định luật Kepler nếu người ta giả sử định luật chuyển động của Newton.

Trong suốt lịch sử, chuyển động của các hành tinh trong hệ mặt trời đã đóng vai trò như một phòng thí nghiệm để hạn chế và hướng dẫn sự phát triển của cơ học thiên thể nói riêng và cơ học cổ điển nói chung. Trong thời hiện đại, những quan sát ngày càng chính xác về các thiên thể đã được so sánh với những dự đoán ngày càng chính xác về các vị trí trong tương lai – một sự kết hợp đã trở thành phép thử cho chính định luật hấp dẫn của Newton . Mặc dù chuyển động của mặt trăng (trong phạm vi sai số quan sát) có vẻ phù hợp với lực hấp dẫn giữa các khối điểm giảm đi chính xác là 1 / r 2 , định luật hấp dẫn này cuối cùng đã được chứng minh là một sự gần đúng của mô tả đầy đủ hơn về lực hấp dẫn được đưa ra bởi lý thuyếtthuyết tương đối rộng . Tương tự, sự chênh lệch khoảng 40 giây cung mỗi thế kỷ giữa tốc độ tiến lên của điểm cận nhật quan sát được của sao Thủy và tốc độ được dự đoán bởi nhiễu động của hành tinh với lực hấp dẫn Newton gần như được tính chính xác với thuyết tương đối rộng của Einstein. Sự khác biệt nhỏ này có thể được khẳng định một cách tự tin là có thật là một thành công của cơ học thiên thể định lượng.

Hệ Mặt Trời của chúng ta bao gồm 8 hành tinh: Thủy Tinh, Kim Tinh, Trái Đất, Hỏa Tinh, Mộc Tinh, Thổ Tinh, Thiên Vương Tinh, Hải Vương Tinh – quay xung quanh Mặt Trời với quỹ đạo hình elip. Khác với những ngôi sao – những thiên thể ở rất xa Trái Đất nên tọa độ của chúng thay đổi rất chậm, những hành tinh trong hệ Mặt Trời của chúng ta ở những khoảng cách đủ cho chúng ta có thể nhận thấy sự thay đổi vị trí của chúng, chính vì thế, nguồn gốc từ Hy Lạp của hành tinh là: πλάνητεςαστέρες có nghĩa là những ngôi sao lang thang.

Định luật Kepler về chuyển động của hành tinh Sơ lược tiểu sử Giohanes Kepler

Kepler sinh năm 1571 trong một gia đình quân nhân. Cậu bé thiếu tháng ấy tưởng đã chết sau khi mới lọt lòng mẹ. Rồi không ngờ cậu lại sống sót.

Năm 6 tuổi, cậu lại bị bố mẹ bỏ rơi trong cơn sốt mê sảng vì bệnh đậu mùa. Năm 13 tuổi, cậu lại thoát chết lần thứ ba. Sau khi học xong phổ thông, cậu vào học thần học ở trường đại học, mong trở thành linh mục ở nhà thờ Luthơran. Nhưng rồi ý định ấy bị thay đổi khi ông bộc lộ năng khiếu về toán học.

Năm 1594, ông được bổ trợ làm giáo sư toán ở Graz và ông cư trú và xây dựng gia đình ở đó.

Bốn năm sau, cả gia đình ông đều phải chạy chốn bởi sự ngược đãi tôn giáo. Ông đến phụ việc cho nhà thiên văn học người Đan Mạch Tikhô Brahê. Lòng say mê thiên văn học của ông bắt đầu từ đây.

Trong từng đường đi nước bước, ông không phải là người may mắn. Từ lúc khóc chào đời đến lúc mất, ông phải chiến đấu với bệnh tật, nghịch ảnh và sự ngược đãi.

Thậm chí cuối đời, ông đã mất trong mệt mỏi, kiệt sức vì buồn phiền và nghèo túng. Đàn con đông đúc của ông được thừa kế một gia sản sơ sài chỉ gồm 22 đồng floring, 2 chiếc áo sơ mi cũ, 57 cuốn sách và 16 cuốn các bảng phác thảo thiên văn.

Định luật 1: Mọi hành tinh đều chuyển động quanh Mặt Trời theo các quỹ đạo hình elip với Mặt Trời là một tiêu điểm.

Trong hình vẽ trên ta có: S là Mặt Trời cùng với F 1 là 2 tiêu điểm của quỹ đạo hành tinh. O là tâm, A 1A 2 là . Ta có:

* Tại A 2, hành tinh gần Mặt Trời nhất, nó được gọi là , khoảng cách cận nhật: .

* Tại A 1, hành tinh xa Mặt Trời nhất, nó được gọi là , khoảng cách viễn nhật: .

Gọi P là vị trí của hành tinh vào một thời điểm nào đó, ta có r = SP gọi là , hay . Cho SN hướng theo một hướng nào đó trên mặt phẳng quỹ đạo hành tinh. Ta đặt góc giữa SN và SP là θ theo chiều chuyển động của hành tinh; cho ω là giá trị của góc θ khi nó đi qua điểm cận nhật. (Đối số của điểm cận nhật). Khi đó:

Ta có phương trình cực của quỹ đạo hành tinh:

Thời gian để hành tinh đi hết một vòng trên quỹ đạo của nó (T) gọi là . Chu kỳ quỹ đạo của Trái Đất là 1 năm (khoảng 365,25 ngày Mặt trời trung bình).

Định luật II: Vectơ bán kính quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian như nhau.

Cho P là vị trí của hành tinh vào thời điểm t, Q là vị trí của nó sau khoảng thời gian ∆t. Khi đó vectơ bán kính SQ tạo với tia SN một góc θ + ∆θ. Ta có góc PSQ nhỏ nên có thể coi PQ như một đoạn thẳng. Khi đó diện tích quét trong thời gian ∆t là S∆PSQ = r.(r + ∆r).sin(∆θ) ≈ r2. ∆θ = const. Ta có:

Trong thời gian T, vectơ bán kính quét được một góc là 360 o, cho n là tốc độ quét trung bình của vectơ bán kính. Ta có:

Ta lại có , T là chu kỳ nên:

Định luật III: Tỉ số giữa lập phương bán trục chính và bình phương chu kỳ là như nhau cho mọi hành tinh quay quanh Mặt Trời.

Cho a và a 1 là bán trục lớn của hai hành tinh và T và T 1 là chu kỳ của chúng. Theo định luật III ta có:

Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton và chuyển động của hành tinh Sơ lược về tiểu sử Isaac Newton

Newton sinh năm 1642 tại Vunxtoc miền Nam nước Anh trong một gia đình điền chủ giàu có. Khi Newton chưa ra đời cha ông đã mất. Hai nă sau mẹ ông lại tái giá. Thủa thơ ấu, Newton sống trong sự chăm sóc, dạy dỗ của ông ngoại và người chú. Khi đi học, Newton vốn yếu ớt, nên thường bị các bạn bắt nạt. Cậu bèn quyết tâm học cho giỏi và quả nhiên sau đó đã trở thành một học sinh suất sắc được bạn bè kính nể.

Newton rất say mê với những trò chơi vật lý. Cậu thường tự làm lấy đồ chơi và có những phát minh rất tài tình. Một lần, Newton khoe với các bạn mình rằng nhà mình có một chiếc cối xay thần. Thấy các bạn không tin, cậu dẫn các bạn ra vườn. Ở đó có một chiếc cối xay nhỏ, Kỳ lạ là không cần có sức gió, sức nước hay một lực kéo nào khác mà chiếc cối vẫn quay vù vù và có thể xay được hạt lúa mì thành bột. Các bạn đều thán phục, cho là Newton có phép quỷ thuật. Mãi sau trò quỷ thật đó mới được khám phá. Thì ra Newton đã sử dụng một đàn chuột kéo nhau chạy nhảy theo một hướng làm cối xay quay.

Newton có nhiều sáng kiến khác nữa như: chế ra chiếc xe phản lực chạy bằng hơi nước, đồng hồ nước, đồng hồ Mặt trời… Tuy nhỏ tuổi nhưng Newton đã sớm bộc lộ những năng lực phi thường của một nhà phát minh sau này.

Năm 1661, khi 19 tuổi, Newton theo học tại trường đại học Kembritgiơ. Tại đây Newton được học cùng với giáo sư Barâu và bắt đầu biết đến hình học Đêcac, số học vô cực của Oalit. Mặc dù đang là sinh viên nhưng Newton đã tìm ra một công thức toán tồn tại mãi đến ngày nay gọi là nhị thức Newton. Cũng từ đó, Newton tiến sâu vào lĩnh vực khoa học và đưa ra những phát minh vĩ đại.

Newton mất năm 1727 tại Luân Đôn ở tuổi 85 và không có gia đình.

Sự nghiệp khoa học của Newton rất đồ sộ. Ông đã trở thành nhà bác học vĩ đại nhất trong những nhà bác học vĩ đại.

– Năm 1665, ở tuổi 23, Newton đưa ra định luật vạn vật hấp dẫn.

– Năm 1669, Newton thay thế thầy giáo mình là Barâu, trở thành giáo sư toán của trường Kembritgiơ. Tại đây, Newton đã khám phá ra cấu tạo của ánh sáng trắng. Từ năm 1663-1671, ông giải thích thêm những hiện tượng sinh ra cầu vồng để bổ sung thêm vào môn hình học Đêcac.

– Newton còn làm một kính thiên văn để nghiên cứu các vì sao. Trong quyết định nghiên cứu các hiện tượng này, ông đã phát minh ra kính viễn vọng. Kính thiên văn thời này được làm dựa trên những thiết kế của Newton.

– Năm 1672, Newton được bầu vào Hội khoa học Hoàng gia, tức viện hàn lân khoa học nước Anh khi đó.

– Năm 1704, Newton cho in cuốn ” Quang học ” mà ông đã viết từ hồi còn ở Kembritgiơ.

Bằng trí thông minh tuyệt vời, niềm say mê, sáng tạo không ngừng, Newton đã cống hiến cho nhân loại những phát minh cực kỳ to lớn. Ông mất vào đêm ngày 20, rạng ngày 21/3/1727, tại Luân Đôn. Mộ của ông được đặt tại tu viện Oexmintơn, nơi an nghỉ của các danh nhân nước Anh. Trên bức tường tưởng niệm ông, người ta khắc câu thơ nổi tiếng của Luycrexơ: ” Người đã vượt lên trên tất cả các thiên tài “.

Các giai thoại và thí nghiệm nổi tiếng của Newton:

– Giai thoại quả táo rụng: Một ần Newton ngồi nghỉ dưới gốc cây táo, chợt một quả táo chín rụng xuống đất, ông thầm hỏi: ” Tại sao quả táo kia không bay lên không trung mà lại rơi xuống đất “. Rõ ràng là Trái Đất đã hút quả táo. Mọi vật đều bị hút vào tâm Trái Đất. Newton đưa ra nhận định: Trong vũ trụ mọi vật tồn tại đều do lực hấp dẫn. Vật có khối lượng càn lớn thì lực hấp dẫn càng cao. Định luật vạn vật hấp dẫn ra đời từ đó.

– Phát minh đĩa Newton: trên chiếc đĩa, ông chia ra làm 7 phần, mỗi phần một màu sắc: đỏ- cam- vàng- lục- lam- chàm- tím. Chiếc đĩa này khi quay tít như đĩa hát thì 7 màu sẽ bị hòa lại thành màu trắng. Đó là một thí nghiệm nổi tiếng về cấu tạo của ánh sáng trắng.

– Giây phút đãng trí của Newton: vốn là một người yêu động vật, Newton nuôi một con chó và một con mèo. Muốn cho hai con vật đó có thể đi lại tự do trong phòng làm việc của mình, ông cho đục trên tường hai cái lỗ: một to, một nhỏ. Ông đã quên rằng: chỉ cần đục một cái lỗ cũng đủ cho chúng qua lại một cách dễ dàng.

Định luật vạn vật hấp dẫn: Lực hấp dẫn giữa hai điểm tỉ lệ thuận với tích hai khối lượng và chúng tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng.

trong đó:

– m và m 1: là khối lượng của hai vật.

– r: khoảng cách giữa hai vật.

– G: hằng số hấp dẫn.

Áp dụng vào khảo sát chuyển động của hành tinh:

– Mặt phẳng quỹ đạo chuyển động của hành tinh:

Cho S và P là vị trí của Mặt Trời và hành tinh vào thời điểm t và một hệ tọa độ OXYZ như hình vẽ và chúng có tọa độ lần lượt là S(X S;Y S;Z S) và P(X P;Y P;Z P).

Theo định luật vạn vật hấp dẫn, hành tinh P chịu tác dụng từ S một lực (với r = SP). Thành phần của lực khi chiếu xuống trục OX là:

Nếu là thành phần của gia tốc của P song song với OX, theo định luật II Newton về chuyển động, ta có:

(a)

Bây giờ, Mặt Trời S chịu tác dụng từ hành tinh P một lực và khi chiếu lên trục OX là:

Nếu là thành phần của gia tốc của S song song với OX, theo định luật II Newton về chuyển động, ta có:

(b)

Chia (a) với m và (b) với M rồi lấy hiệu của chúng, ta được kết quả:

(c)

Làm tương tự khi ta chiếu lên các trục OY và OZ, ta có:

Ba phương trình (d), (e), (f) mô tả chuyển động của P đối với Mặt Trời.

Nhân (e) với ζ và (f) với η rồi lấy hiệu của chúng ta được kết quả:

Làm tương tự ta cũng có:

Lần lượt nhân (g), (h), (i) với ξ, η, ζ rồi tính tổng các vế, được kết quả:

đây là phương trình mặt phẳng quỹ đạo của hành tinh.

– Phương trình chuyển động của hành tinh trên mặt phẳng quỹ đạo của nó:

Bây giờ, ta sẽ xét chuyển động của hành tinh với hai trục tọa độ có gốc là Mặt trời và nằm trên mặt phẳng quỹ đạo hành tinh. Đó là hệ trục tọa độ Sxy như hình vẽ. Ở đây, SN là trục x, trục y vuông góc với trục x theo chiều chuyển động của hành tinh. Ta có phương trình chuyển động của hành tinh tương tự như đã được phân tích ở phần trên:

Công thức chuyển đổi từ tọa độ hình chữ nhật sang tọa độ cực, ta có:

x = chúng tôi θ và y = chúng tôi θ (2)

Cho α và β là thành phần gia tốc của P khi chiếu lên các trục tọa độ, ta có:

Từ phương trình đầu tiên của (2), ta lấy vi phân:

Tương tự cho phương trình thứ hai:

Thay 2 phương trình ẍ và ӱ có ở trên vào phương trình đầu tiên của (3), ta được:

Thay 2 phương trình của (1) và phương trình đầu tiên của (3), rồi thay x,y từ hai phương trình của (2) và kết quả thu được. Rút gọn lại ta được:

Như vậy:

(4).

Tương tự ta cũng có:

Mà:

Đặt u = 1/r, khi đó phương trình h trở thành: (5)

Ta lại có:

thế vào phương trình trên ta có:

Ta lại có:

(6)

Bình phương 2 về của (5) rồi nhân với r ta được: (7)

Thế (6) và (7) vào (4) ta được:

Giải phương trình vi phân:

Đặt (2), thay vào phương trình ta có:

(1)

Đặt có các khai triển: và

thay trở lại công thức (1) ta có:

Ta lại có:

mà thay trở lại công thức trên ta có:

Đặt A = a + b và B = i.(a – b) ta có:

Từ công thức (2) ta có:

Đặt thì ta có:

Mà r = 1/u nên:

Đặt và ta có:

(Đây là phương trình tọa độ cực của 1 đường conic)

– Vận tốc của hành tinh trên quỹ đạo của nó:

Trong hình vẽ bên V được biểu diễn bởi PT (tiếp tuyến của elip), r được biểu diễn bởi PQ và được biểu diễn bởi PL (vuông góc với PQ). Khi đó:

với:

Từ ta có:

Từ đó:

Mà và u=1/r, ta có:

Hành tinh di chuyển nhanh nhất khi r nhỏ nhất (tại vị trí hành tinh qua điểm cận nhật):

và

Hành tinh di chuyển chậm nhất khi r lớn nhất (tại vị trí hành tinh qua điểm viễn nhật):

và

Các công thức cơ bản – Khoảng cách góc thật và khoảng cách góc lệch tâm:

Khoảng cách góc thật (v) là khoảng cách góc từ vị trí của hành tinh vào một thời điểm đến điểm cận nhật nhìn từ Mặt Trời theo chiều chuyển động của hành tinh. Ta có:

Khoảng cách góc lệch tâm (E) là khoảng cách góc của hành tinh khi chiếu lên đường tròn đến điểm cận nhật nhìn từ tâm quỹ đạo theo chiều chuyển động của hành tinh. Ta có:

Ta có công thức liên hệ giữa khoảng cách góc thật và khoảng cách góc lệch tâm:

– Phương trình Kepler:

Ta gọi τ là thời điểm hành tinh đi qua điểm cận nhật và T là chu kỳ quỹ đạo. Vào thời điểm t, hành tinh đang ở vị trí P. Trong khoảng thời gian ( t – τ), vectơ bán kính di chuyển từ SA 2 tới SP và quét được diện tích SPA 2. Theo định luật II Kepler:

. Do đó:

Từ định nghĩa góc chuyển động trung bình n. Góc n.(t – τ) biểu thị cho góc tại thời điểm (t – τ) bởi một vectơ bán kính quanh S với hằng số vận tốc góc n. Đặt M = n.(t – τ) gọi là khoảng cách góc trung bình. Khi đó:

Ta lại có: . Trong đó:

* với và nên:

* Ta vẽ các đường thẳng vuông góc với A 1A 2 như P 1H 1. Ta có: . Tính tổng độ dài tất cả các đoạn thẳng như thế ta được:

Như vậy:

Từ đó, ta có:

– Phương trình trung tâm:

* Giải phương trình Kepler M = E – chúng tôi E:

Ta có E = M + chúng tôi E

E3 = M + e.sin(M + chúng tôi M) = M + chúng tôi M.cos(e.sin M) + chúng tôi M.sin(e.sin M)

với E là một số nhỏ, ta có: E3 = M + chúng tôi M + chúng tôi chúng tôi M = chúng tôi M + e2.sin(2.M)/2

Làm tiếp khai triển như thế ta được:

(1)

* Giải phương trình liên hệ giữa khoảng cách góc thật và khoảng cách góc lệch tâm:

Đặt với ta có:

Đặt ta có

Từ và , ta có thể viết:

Làm tương tự với tan(E/2) và ghép lại ta được:

Logarit 2 vế:

Bây giờ với và với x<1 và e<1, ta có:

với

Khi đó: (2)

Từ (1) ta có:

Với độ chính xác giới hạn trong e 2 nên công thức trên trở thành:

Trong giới hạn cần thiết khai triển tương tự ta cũng có:

sin(2.E) = sin(2.M) + e.[sin(3.M)-sinM] và sin(3.E) = sin(3.M)

Thay sin E, sin(2.E), sin(3.E) khai triển ở trên vào công thức (2) ta được:

Trong thống kê toán học và xác uất, điều quan trọng là phải làm quen với lý thuyết tập hợp. Các hoạt động cơ bản của lý thuyết tập hợp có kết nối với

NộI Dung:

(Một ∩ B)C = MộtC Bạn BC.

(Một Bạn B)C = MộtC ∩ BC.

Đề cương chiến lược chứng minh

Trước khi nhảy vào bằng chứng, chúng tôi sẽ suy nghĩ về cách chứng minh các tuyên bố trên. Chúng tôi đang cố gắng chứng minh rằng hai bộ bằng nhau. Cách thức này được thực hiện trong một bằng chứng toán học là bằng thủ tục bao gồm hai lần. Các phác thảo của phương pháp chứng minh này là:

Cho thấy tập hợp ở bên trái dấu bằng của chúng ta là tập con của tập hợp bên phải.

Lặp lại quá trình theo hướng ngược lại, cho thấy rằng tập hợp bên phải là tập hợp con của tập hợp bên trái.

Hai bước này cho phép chúng ta nói rằng các bộ trên thực tế bằng nhau. Chúng bao gồm tất cả các yếu tố giống nhau.

Bằng chứng về một trong những luật

Chúng ta sẽ xem làm thế nào để chứng minh luật đầu tiên của De Morgan, ở trên. Chúng tôi bắt đầu bằng cách cho thấy rằng (Một ∩ B)C là một tập hợp con của MộtC Bạn BC.

Đầu tiên giả sử rằng x là một yếu tố của (Một ∩ B)C.

Điều này có nghĩa rằng x không phải là một yếu tố của (Một ∩ B).

Vì giao điểm là tập hợp tất cả các yếu tố chung cho cả hai Một và B, bước trước có nghĩa là x không thể là một yếu tố của cả hai Một và B.

Điều này có nghĩa rằng x phải là một yếu tố của ít nhất một trong các bộ MộtC hoặc là BC.

Theo định nghĩa này có nghĩa là x là một yếu tố của MộtC Bạn BC

Chúng tôi đã chỉ ra sự bao gồm tập hợp con mong muốn.

Bằng chứng của chúng tôi bây giờ đã được thực hiện một nửa. Để hoàn thành nó, chúng tôi hiển thị tập hợp con đối diện. Cụ thể hơn chúng ta phải thể hiện MộtC Bạn BC là tập con của (Một ∩ B)C.

Chúng tôi bắt đầu với một yếu tố x trong bộ MộtC Bạn BC.

Điều này có nghĩa rằng x là một yếu tố của MộtC hoặc đó x là một yếu tố của BC.

Như vậy x không phải là một yếu tố của ít nhất một trong các bộ Một hoặc là B.

Vì thế x không thể là một yếu tố của cả hai Một và B. Điều này có nghĩa rằng x là một yếu tố của (Một ∩ B)C.

Chúng tôi đã chỉ ra sự bao gồm tập hợp con mong muốn.

Chứng minh luật khác

Bằng chứng của tuyên bố khác rất giống với bằng chứng mà chúng tôi đã nêu ở trên. Tất cả những gì phải được thực hiện là hiển thị tập hợp con của các tập hợp ở cả hai phía của dấu bằng.

Có 1 câu chuyện về trái táo rơi trúng đầu. Một câu chuyện tưởng chừng bình thường nhưng lại làm nên 1 thiên tài!

Isaac Newton là nhà thiên tài – người có ảnh hưởng rất to lớn đến lịch sử nhân loại. 3 định luật Newton của ông: Định luật I Newton, đ ịnh luật II Newton, đ ịnh luật III Newton được công nhận và được ứng dụng rộng rãi.

Sinh ngày: 4 tháng 1 năm 1643 [Lịch cũ: 25 tháng 12 năm 1642] tại Lincolnshire, Anh

Mất ngày: 31 tháng 3 năm 1727 (84 tuổi) [Lịch cũ: 20 tháng 3, 1726 (83 tuổi)] tại Kensington, Luân Đôn, Anh

Quốc tịch: Anh

Học vấn: Tiến sĩ

Công trình: Cơ học Newton, vạn vật hấp dẫn, vi phân, quang học, định lý nhị thức.

Chuyên ngành: Tôn giáo, vật lý, toán học, thiên văn học, triết học, giả kim thuật.

Nơi công tác: Đại học Cambridge Hội Hoàng gia

Người hướng dẫn luận án tiến sĩ: Isaac Barrow, Benjamin Pulleyn

Các nghiên cứu sinh nổi tiếng: Roger Cotes, William Whiston

Phát biểu định luật 1 Newton

Đinh luật 1 Newton hay định luật quán tính được phát biểu như sau:

Một vật thể sẽ giữ nguyên trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều nếu như không có một lực nào tác dụng lên nó hoặc nếu như tổng các lực tác dụng lên nó bằng không.

Phát biểu khác:

Trong mọi vũ trụ hữu hình, chuyển động của một chất điểm trong một hệ quy chiếu cho trước Φ sẽ được quyết định bởi tác động của các lực luôn triệt tiêu nhau khi và chỉ khi vân tốc của chất điểm đó bất biến trong Φ. Nói cách khác, một chất điểm luôn ở trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều trong hệ quy chiếu Φ trừ khi có một ngoại lực khác 0 tác động lên chất điểm đó.

Biểu thức định luật 1 Newton

Định luật Newton 1 chỉ ra rằng lực không phải là nguyên nhân cơ bản gây ra chuyển động của các vật. Hay đúng hơn là nguyên nhân gây ra sự thay đổi trạng thái chuyển động (thay đổi vận tốc/động lượng của vật).

Đang ngồi trên xe chuyển động thẳng đều. Xe rẽ sang trái: tất cả các hành khách đều nghiêng sang phải theo hướng chuyển động cũ.

Đang ngồi trên xe chuyển động thẳng đều. Xe đột ngột hãm phanh: tất cả các hành khách trên xe đều bị chúi về phía trước…

Phát biểu định luật 2 Newton

Sự biến thiên động lượng của một vật thể tỉ lệ thuận với xung lực tác dụng lên nó, và véc tơ biến thiên động lượng này sẽ cùng hướng với véc tơ xung lực gây ra nó. Hay gia tốc của một vật cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật.

Biểu thức định luật 2 Newton

Véc tơ F – là tổng ngoại lực tác dụng lên vật (đơn vị N)

Véc tơ a – là gia tốc (đơn vị m/s²)

m – là khối lượng vật (đơn vị kg)

Trong trường hợp vật chịu cùng lúc nhiều lực tác dụng F1, chúng tôi thì F là hợp lực của các lực:

Công thức định luật Newton thứ 2 phổ biến: F = m.a , với F là ngoại lực tác dụng lên vật (N), m là khối lượng của vật (kg), a là gia tốc của vật (m/s²)

Khối lượng và mức quán tính

Định nghĩa: Khối lượng là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật.

Tính chất của khối lượng:

Khối lượng là một đại lượng vô hướng, dương và không đổi đối với mỗi vật.

Khối lượng có tính chất cộng.

Trọng lực và trọng lượng

Trọng lực: là lực của Trái Đất tác dụng vào vật, gây ra cho chúng gia tốc rơi tự do. Trọng lực được kí hiệu là véc tơ P. Ở gần trái đất trọng lực có phương thẳng đứng, chiều từ trên xuống. Điểm đặt của trọng lực tác dụng lên vật gọi là trọng tâm của vật.

Độ lớn của trọng lực tác dụng lên một vật gọi là trọng lượng của vật, kí hiệu là P. Trọng lượng của vật được đo bằng lực kế. Công thức tính trọng lượng:

Khi một vật tác dụng lên vật khác một lực thì vật đó cũng bị vật kia tác dụng ngược trở lại một lực. Ta nói giữa 2 vật có sự tương tác.

Phát biểu định luật 3 Newton

Định luật Newton thứ 3 được phát biểu như sau:

Đối với mỗi lực tác động bao giờ cũng có một phản lực cùng độ lớn, nói cách khác, các lực tương tác giữa hai vật bao giờ cũng là những cặp lực cùng độ lớn, cùng phương, ngược chiều và khác điểm đặt.

Biểu thức định luật 3 Newton

Một trong hai lực tương tác giữa hai vật gọi là lực tác dụng còn lực kia gọi là phản lực.

Đặc điểm của lực và phản lực :

Lực và phản lực luôn luôn xuất hiện (hoặc mất đi) đồng thời.

Lực và phản lực có cùng giá, cùng độ lớn nhưng ngược chiều. Hai lực có đặc điểm như vậy gọi là hai lực trực đối.

Lực và phản lực không cân bằng nhau vì chúng đặt vào hai vật khác nhau.

Định luật Newton thứ 3 chỉ ra rằng lực không xuất hiện riêng lẻ mà xuất hiện theo từng cặp động lực-phản lực. Nói cách khác, lực chỉ xuất hiện khi có sự tương tác qua lại giữa hai hay nhiều vật với nhau. Cặp lực này, định luật 3 nói rõ thêm, là cặp lực trực đối. Chúng có cùng độ lớn nhưng ngược chiều vật A và B.

Hơn nữa, trong tương tác: A làm thay đổi động lượng của B bao nhiêu thì động lượng của A cũng bị thay đổi bấy nhiêu theo chiều ngược lại.

Các dạng bài tập về định luật Newton Áp dụng 3 định luật Niu-tơn

Bài 1. Một ô tô có khối lượng 1 tấn đang chuyển động với v = 54 km/h thì hãm phanh. Chuyển động chậm dần đều. Biết lực hãm 3000N. a) Xác định quãng đường xe đi được cho đến khi dừng lại. b) Xác định thời gian chuyển động cho đến khi dừng lại.

Hướng dẫn giải: Chọn chiều + là chiều chuyển động, gốc thời gian lúc bắt đầu hãm phanh.

Hướng dẫn giải:

Bài tập tự luyện về định luật Newton

Bài 1: Cho viên bi A chuyển động tới va chạm vào bi B đang đứng yên, v A = 20m/s. Sau va chạm bi A tiếp tục chuyển động theo phương cũ với v = 10m/s. Thời gian xảy ra va chạm là 0,4s. Tính gia tốc của 2 viên bi, biết m A = 200g, m B = 100g.

Bài 2 : Một vật đang đứng yên, được truyền 1 lực F thì sau 5s vật này tăng v = 2m/s. Nếu giữ nguyên hướng của lực mà tăng gấp 2 lần độ lớn lực F vào vật thì sau 8s. Vận tốc của vật là bao nhiêu?

Bài 3: Lực F 1 tác dụng lên viên bi trong khoảng Δ t = 0,5s làm thay đổi vận tốc của viên bi từ 0 đến 5 cm/s. Tiếp theo tác dụng lực F 2 = 2.F 1 lên viên bi trong khoảng Δ t =1,5s thì vận tốc tại thời điểm cuối của viên bi là? ( biết lực tác dụng cùng phương chuyển động).

Bài 4: Một ô tô có khối lượng 500 kg đang chuyển động thẳng đều thì hãm phanh chuyển động chậm dần đều trong 2s cuối cùng đi được 1,8 m. Hỏi lực hãm phanh tác dung lên ô tô có độ lớn là bao nhiêu?

Chúng tôi luôn sẵn sàng đem lại những giá trị tốt đẹp cho cộng đồng!

Cách 1: Chứng minh của E. A. Coolidge Cách chứng minh này xuất hiện trong cuốn sách về các vấn đề kinh điển thuộc học thuyết Pitago của tá…

Cách 1: Chứng minh của E. A. Coolidge

Cách chứng minh này xuất hiện trong cuốn sách về các vấn đề kinh điển thuộc học thuyết Pitago của tác giả Elisha Scott Loomis, được xuất bản lần đầu tiên bởi Hội đồng giáo viên quốc gia của môn toán học, vào năm 1927. Thật đáng tiếc, quyển sách này hiện nay không được xuất bản nữa, trong cuốn sách này có tới trên 300 cách chứng minh định lý Pitago, trong đó, có nhiều cách chứng minh tương tự nhau, và tất cả các cách chứng minh nổi tiếng đều có trong cuốn sách của Loomis.

1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên các cạnh của nó (dùng công cụ custom)2. Kéo dài tia HA, lấy điểm A’ đối xứng với điểm H qua A bằng cách :

3. Vẽ một đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với đoạn AA’, Vẽ điểm giao K của 2 đường này.

( Hình bên minh họa cho các bước từ 1 đến 3)

4. Vẽ hình vuông A’KLM.

(Sử dụng công cụ Custom tool như đã giới thiệu ở bài 1)

5. Vẽ Đoạn BK, GM, FL.

6. Làm ẩn đi đường BK.

7. Tô màu cho 4 mảnh trong hình vuông trên cạnh huyền.

8. Đánh dấu vectơ EJ và dịch chuyển 4 đỉnh và 4 cạnh của hình vuông BCDE theo vectơ này (để được hình vuông bên dưới hình vuông trên cạnh b có diện tích bằng diện tích hình vuông BCDE )

vuông trên cạnh huyền vào trong miền có diện tích a 2 + b 2 trên cạnh b. Chú ý:

– Hãy thử thay đổi tam giác của bạn, và quan sát xem các mảnh tương ứng còn lại có bằng nhau nữa không.?

– Chú ý rằng, trong trương hợp dựng hình như thế này cạnh b cần phải luôn được giữ là cạnh bên dài hơn nếu không thì sự dựng hình như trên sẽ bị sai.

– Trường hợp đặc biệt trước khi việc dựng hình bi sai là trương hợp cạnh b dài bằng cạnh a thì hình vuông A’KLM biến mất.

Cách 2: Chứng minh của Ann Condit

Đây cũng là một cách chứng minh được giới thiệu trong cuốn sách của Elisha Scott Loomis. Ann Condit nghĩ ra cách chứng minh này vào năm 1938 khi cô mới 16 tuổi và là sinh viên của trường trung học ở miền nam Ấn Độ.

1. Dựng đoạn thẳng AB.

2. Vẽ trung điểm D của đoạn thẳng này

3. Vẽ đường tròn bán kính DA.

4. Vẽ đoạn BC và AC , với C là một điểm nằm trên đường tròn. Như vvậy ta đã dựng được tam giác vuông ABC vuông tại C.

5. Vẽ các hình vuông trên các cạnh của tam giác vuông ABC.

6. Vẽ các trung điểm L, M, N của các cạnh phía ngoài của các hình vuông.

7. Vẽ các đoạn DL, DM, DL.

8. Vẽ đoạn FG, Vẽ tia DC, và điểm P là giao điểm cuat tia DC và đoạn FG, sau đó làm ẩn đi tia DC và hiện đoạn DP.

9. Tô màu khác nhau cho diện tích các tam giác DCF, DCG, và DBK.

10. Đo diện tích các tam giác, và di chuyển điểm C quanh một nửa đường tròn trên đường kính AB.

Ta nhận thấy: tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của tam giác lớn hơn. Và tổng diện tích này không đổi khi điểm C chuyển động trên đường tròn. (xem hình bên dưới).

1. Các tam giác DCG, DCF, và DBK cóchiều dài 1 cạnh bằng nhau đó là : DC và BD( cì đều bằng bán kính đườn tròn.

2. Đoạn PF và PG theo thứ tự là đường cao của 2 tam giác DCF và DCG.

4. So sánh DCF, DCG, DBK theo thứ với diện tích của các hình vuông CFEB, CAHG, BAGK ?

5. Nếu bạn làm được những yêu cầu trên thì bạn đã chứng minh được định lý Pitago.

( Theo Tạp chí Tin học và Nhà trường)