Làm Thế Nào Để Chứng Minh Luật De Morgan

Trong thống kê toán học và xác uất, điều quan trọng là phải làm quen với lý thuyết tập hợp. Các hoạt động cơ bản của lý thuyết tập hợp có kết nối với

NộI Dung:

(Một ∩ B)C = MộtC Bạn BC.

(Một Bạn B)C = MộtC ∩ BC.

Đề cương chiến lược chứng minh

Trước khi nhảy vào bằng chứng, chúng tôi sẽ suy nghĩ về cách chứng minh các tuyên bố trên. Chúng tôi đang cố gắng chứng minh rằng hai bộ bằng nhau. Cách thức này được thực hiện trong một bằng chứng toán học là bằng thủ tục bao gồm hai lần. Các phác thảo của phương pháp chứng minh này là:

Cho thấy tập hợp ở bên trái dấu bằng của chúng ta là tập con của tập hợp bên phải.

Lặp lại quá trình theo hướng ngược lại, cho thấy rằng tập hợp bên phải là tập hợp con của tập hợp bên trái.

Hai bước này cho phép chúng ta nói rằng các bộ trên thực tế bằng nhau. Chúng bao gồm tất cả các yếu tố giống nhau.

Bằng chứng về một trong những luật

Chúng ta sẽ xem làm thế nào để chứng minh luật đầu tiên của De Morgan, ở trên. Chúng tôi bắt đầu bằng cách cho thấy rằng (Một ∩ B)C là một tập hợp con của MộtC Bạn BC.

Đầu tiên giả sử rằng x là một yếu tố của (Một ∩ B)C.

Điều này có nghĩa rằng x không phải là một yếu tố của (Một ∩ B).

Vì giao điểm là tập hợp tất cả các yếu tố chung cho cả hai Một và B, bước trước có nghĩa là x không thể là một yếu tố của cả hai Một và B.

Điều này có nghĩa rằng x phải là một yếu tố của ít nhất một trong các bộ MộtC hoặc là BC.

Theo định nghĩa này có nghĩa là x là một yếu tố của MộtC Bạn BC

Chúng tôi đã chỉ ra sự bao gồm tập hợp con mong muốn.

Bằng chứng của chúng tôi bây giờ đã được thực hiện một nửa. Để hoàn thành nó, chúng tôi hiển thị tập hợp con đối diện. Cụ thể hơn chúng ta phải thể hiện MộtC Bạn BC là tập con của (Một ∩ B)C.

Chúng tôi bắt đầu với một yếu tố x trong bộ MộtC Bạn BC.

Điều này có nghĩa rằng x là một yếu tố của MộtC hoặc đó x là một yếu tố của BC.

Như vậy x không phải là một yếu tố của ít nhất một trong các bộ Một hoặc là B.

Vì thế x không thể là một yếu tố của cả hai Một và B. Điều này có nghĩa rằng x là một yếu tố của (Một ∩ B)C.

Chúng tôi đã chỉ ra sự bao gồm tập hợp con mong muốn.

Chứng minh luật khác

Bằng chứng của tuyên bố khác rất giống với bằng chứng mà chúng tôi đã nêu ở trên. Tất cả những gì phải được thực hiện là hiển thị tập hợp con của các tập hợp ở cả hai phía của dấu bằng.

Luật Của Morgan / Toán Học

Cái l đôi mắt của Morgan chúng là các quy tắc suy luận được sử dụng trong logic mệnh đề, nó thiết lập kết quả của việc từ chối một hàm tách rời và kết hợp của các mệnh đề hoặc các biến mệnh đề. Những định luật này được định nghĩa bởi nhà toán học Augustus De Morgan.

Các định luật của Morgan đại diện cho một công cụ rất hữu ích để chứng minh tính hợp lệ của một lý luận toán học. Sau đó, chúng được khái quát hóa trong khái niệm tập hợp của nhà toán học George Boole.

Việc khái quát hóa này được thực hiện bởi Boole hoàn toàn tương đương với các luật ban đầu của Morgan, nhưng nó được phát triển riêng cho các bộ hơn là cho các mệnh đề. Sự khái quát hóa này còn được gọi là luật của Morgan.

Chỉ số

1 Đánh giá logic mệnh đề

Luật của 2 Morgan

3 bộ

3.1 Liên minh, ngã tư và bổ sung của bộ

4 luật của Morgan cho các bộ

5 tài liệu tham khảo

Ôn tập logic mệnh đề

Trước khi xem xét luật của Morgan cụ thể là gì và cách chúng được sử dụng, thật thuận tiện để ghi nhớ một số khái niệm cơ bản của logic mệnh đề. (Để biết thêm chi tiết, xem bài viết logic mệnh đề).

Trong lĩnh vực logic toán học (hoặc mệnh đề), suy luận là một kết luận được phát ra từ một tập hợp các tiền đề hoặc giả thuyết. Kết luận này, cùng với các tiền đề được đề cập, làm phát sinh cái gọi là lý luận toán học.

Lý do này phải có thể được chứng minh hoặc từ chối; điều đó có nghĩa là, không phải tất cả các suy luận hoặc kết luận trong một lý luận toán học đều hợp lệ.

Ngụy biện

Một suy luận sai lầm phát ra từ các giả định nhất định được cho là đúng được gọi là sai lầm. Những ngụy biện có đặc thù là những lập luận có vẻ đúng, nhưng về mặt toán học thì không.

Logic đề xuất chịu trách nhiệm phát triển chính xác và cung cấp các phương pháp bằng cách mà người ta có thể, mà không có bất kỳ sự mơ hồ nào, xác nhận hoặc bác bỏ một lý luận toán học; đó là, suy ra một kết luận hợp lệ từ các cơ sở. Các phương pháp này được gọi là quy tắc suy luận, trong đó luật của Morgan là một phần.

Đề xuất

Các yếu tố thiết yếu của logic mệnh đề là các mệnh đề. Các đề xuất là các tuyên bố về cái mà người ta có thể nói liệu chúng có hợp lệ hay không, nhưng chúng không thể đúng hoặc sai cùng một lúc. Không nên có sự mơ hồ trong vấn đề này.

Cũng giống như các số có thể được kết hợp thông qua các phép toán cộng, trừ, nhân và chia, các mệnh đề có thể được vận hành bằng phương pháp logic liên kết (hoặc trình kết nối) đã biết: phủ định (¬, “không”), phân biệt (V , “O”), kết hợp (Ʌ, “và”), có điều kiện (→, “nếu …, sau đó …”) và nhị phân (↔, “có, và chỉ khi”).

Để làm việc chung hơn, thay vì xem xét các mệnh đề cụ thể, chúng tôi xem xét các biến mệnh đề đại diện cho bất kỳ mệnh đề nào và thường được biểu thị bằng các chữ cái viết thường p, q, r, s, v.v..

Một công thức mệnh đề là sự kết hợp của các biến mệnh đề thông qua một số liên kết logic. Nói cách khác, nó là một thành phần của các biến mệnh đề. Chúng thường được ký hiệu bằng các chữ cái Hy Lạp.

Người ta nói rằng một công thức mệnh đề hàm ý logic khác khi cái sau đúng mỗi lần đầu tiên là đúng. Điều này được ký hiệu là:

Khi hàm ý logic giữa hai công thức mệnh đề là đối ứng – nghĩa là khi hàm ý trước đó cũng hợp lệ theo hướng ngược lại – các công thức được cho là tương đương về mặt logic và được biểu thị bằng

Tương đương logic là một loại bình đẳng giữa các công thức mệnh đề và cho phép thay thế cái này cho cái kia khi cần thiết.

Luật của Morgan

Luật của Morgan bao gồm hai tương đương logic giữa hai hình thức mệnh đề, cụ thể là:

Đầu tiên có thể được đọc như sau: phủ định của một phân tách bằng với sự kết hợp của các phủ định. Và cái thứ hai đọc như thế này: phủ định của một kết hợp là sự phân biệt của các phủ định.

Nói cách khác, để từ chối sự phân ly của hai biến mệnh đề tương đương với sự kết hợp của các phủ định của cả hai biến. Tương tự như vậy, để từ chối sự kết hợp của hai biến mệnh đề tương đương với sự phân biệt các phủ định của cả hai biến.

Như đã đề cập trước đó, việc thay thế tương đương logic này giúp chứng minh các kết quả quan trọng, cùng với các quy tắc suy luận hiện có khác. Với những điều này, bạn có thể đơn giản hóa nhiều công thức mệnh đề, để chúng hữu ích hơn để làm việc.

tương đương với:

Cái sau đơn giản hơn để hiểu và phát triển.

Trình diễn

Điều đáng nói là tính hợp lệ của các luật của Morgan có thể được chứng minh bằng toán học. Một cách là bằng cách so sánh các bảng sự thật của bạn.

Bộ

Các quy tắc suy luận tương tự và các khái niệm logic được áp dụng cho các mệnh đề, cũng có thể được phát triển khi xem xét các tập hợp. Đây là những gì được gọi là đại số Boolean, sau nhà toán học George Boole.

Để phân biệt các trường hợp, cần phải thay đổi ký hiệu và chuyển thành tập hợp, tất cả các khái niệm đã thấy của logic mệnh đề.

Một tập hợp là một tập hợp các đối tượng. Các bộ được ký hiệu bằng chữ in hoa A, B, C, X, … và các phần tử của một bộ được ký hiệu bằng các chữ cái thường a, b, c, x, v.v. Khi một phần tử a thuộc về một tập X, nó được ký hiệu là:

Khi nó không thuộc về X, ký hiệu là:

Cách để thể hiện các bộ là đặt các phần tử của chúng bên trong các phím. Ví dụ: tập hợp các số tự nhiên được biểu thị bằng:

Các bộ cũng có thể được trình bày mà không cần viết một danh sách rõ ràng các yếu tố của chúng. Chúng có thể được thể hiện dưới dạng :. Hai điểm được đọc “sao cho”. Một biến đại diện cho các phần tử của tập hợp được đặt ở bên trái của hai điểm và thuộc tính hoặc điều kiện mà chúng thỏa mãn được đặt ở phía bên phải. Đây là:

Ví dụ: tập hợp các số nguyên lớn hơn -4 có thể được biểu thị dưới dạng:

Hoặc tương đương, và viết tắt nhiều hơn, như:

Tương tự, các biểu thức sau đây biểu thị các tập hợp số chẵn và số lẻ, tương ứng:

Liên minh, ngã tư và bổ sung của bộ

Tiếp theo chúng ta sẽ thấy các tương tự của liên kết logic trong trường hợp các tập hợp, là một phần của các hoạt động cơ bản giữa các bộ.

Liên minh và ngã tư

Liên kết và giao điểm của các bộ được xác định, tương ứng, theo cách sau:

Ví dụ, hãy xem xét các bộ:

Sau đó, bạn phải:

Bổ sung

Phần bù của một tập hợp được hình thành bởi các phần tử không thuộc về tập hợp đó (cùng loại mà bản gốc đại diện). Phần bù của tập A, được ký hiệu là:

Ví dụ, trong các số tự nhiên, phần bù của tập hợp các số chẵn là số lẻ và ngược lại.

Để xác định phần bù của tập hợp, nó phải rõ ràng ngay từ đầu tập hợp phổ quát hoặc chính của các phần tử đang được xem xét. Ví dụ, không bằng cách xem xét phần bù của một tập hợp trên các số tự nhiên trên các số hữu tỷ.

Bảng sau đây cho thấy mối quan hệ hoặc sự tương tự tồn tại giữa các hoạt động trên các tập xác định trước đó và các liên kết của logic mệnh đề:

Luật của Morgan cho bộ

Cuối cùng, luật của Morgan về các bộ là:

Nói cách khác: phần bù của liên kết là giao điểm của phần bổ sung và phần bù của phần giao là phần kết hợp của phần bổ sung.

Một bằng chứng toán học của đẳng thức đầu tiên sẽ là như sau:

Trình diễn thứ hai là tương tự.

Tài liệu tham khảo

Almaguer, G. (2002). Toán 1. Biên tập Limusa.

Aylwin, C.U. (2011). Logic, bộ và số. Mérida – Venezuela: Hội đồng xuất bản, Đại học de Los Andes.

Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Giới thiệu về Lý thuyết số. KIẾM.

Castañeda, S. (2024). Khóa học cơ bản về lý thuyết số. Đại học phía bắc.

Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Làm thế nào để phát triển lý luận logic toán học. Biên tập đại học.

Guevara, M. H. (s.f.). Lý thuyết số. KIẾM.

Zaragoza, A.C. (s.f.). Lý thuyết số. Biên tập sách tầm nhìn.

Một Số Cách Chứng Minh Định Lí Pitago

Cách 1: Chứng minh của E. A. Coolidge Cách chứng minh này xuất hiện trong cuốn sách về các vấn đề kinh điển thuộc học thuyết Pitago của tá…

Cách 1: Chứng minh của E. A. Coolidge

Cách chứng minh này xuất hiện trong cuốn sách về các vấn đề kinh điển thuộc học thuyết Pitago của tác giả Elisha Scott Loomis, được xuất bản lần đầu tiên bởi Hội đồng giáo viên quốc gia của môn toán học, vào năm 1927. Thật đáng tiếc, quyển sách này hiện nay không được xuất bản nữa, trong cuốn sách này có tới trên 300 cách chứng minh định lý Pitago, trong đó, có nhiều cách chứng minh tương tự nhau, và tất cả các cách chứng minh nổi tiếng đều có trong cuốn sách của Loomis.

1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên các cạnh của nó (dùng công cụ custom)2. Kéo dài tia HA, lấy điểm A’ đối xứng với điểm H qua A bằng cách :

3. Vẽ một đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với đoạn AA’, Vẽ điểm giao K của 2 đường này.

( Hình bên minh họa cho các bước từ 1 đến 3)

4. Vẽ hình vuông A’KLM.

(Sử dụng công cụ Custom tool như đã giới thiệu ở bài 1)

5. Vẽ Đoạn BK, GM, FL.

6. Làm ẩn đi đường BK.

7. Tô màu cho 4 mảnh trong hình vuông trên cạnh huyền.

8. Đánh dấu vectơ EJ và dịch chuyển 4 đỉnh và 4 cạnh của hình vuông BCDE theo vectơ này (để được hình vuông bên dưới hình vuông trên cạnh b có diện tích bằng diện tích hình vuông BCDE )

vuông trên cạnh huyền vào trong miền có diện tích a 2 + b 2 trên cạnh b. Chú ý:

– Hãy thử thay đổi tam giác của bạn, và quan sát xem các mảnh tương ứng còn lại có bằng nhau nữa không.?

– Chú ý rằng, trong trương hợp dựng hình như thế này cạnh b cần phải luôn được giữ là cạnh bên dài hơn nếu không thì sự dựng hình như trên sẽ bị sai.

– Trường hợp đặc biệt trước khi việc dựng hình bi sai là trương hợp cạnh b dài bằng cạnh a thì hình vuông A’KLM biến mất.

Cách 2: Chứng minh của Ann Condit

Đây cũng là một cách chứng minh được giới thiệu trong cuốn sách của Elisha Scott Loomis. Ann Condit nghĩ ra cách chứng minh này vào năm 1938 khi cô mới 16 tuổi và là sinh viên của trường trung học ở miền nam Ấn Độ.

1. Dựng đoạn thẳng AB.

2. Vẽ trung điểm D của đoạn thẳng này

3. Vẽ đường tròn bán kính DA.

4. Vẽ đoạn BC và AC , với C là một điểm nằm trên đường tròn. Như vvậy ta đã dựng được tam giác vuông ABC vuông tại C.

5. Vẽ các hình vuông trên các cạnh của tam giác vuông ABC.

6. Vẽ các trung điểm L, M, N của các cạnh phía ngoài của các hình vuông.

7. Vẽ các đoạn DL, DM, DL.

8. Vẽ đoạn FG, Vẽ tia DC, và điểm P là giao điểm cuat tia DC và đoạn FG, sau đó làm ẩn đi tia DC và hiện đoạn DP.

9. Tô màu khác nhau cho diện tích các tam giác DCF, DCG, và DBK.

10. Đo diện tích các tam giác, và di chuyển điểm C quanh một nửa đường tròn trên đường kính AB.

Ta nhận thấy: tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của tam giác lớn hơn. Và tổng diện tích này không đổi khi điểm C chuyển động trên đường tròn. (xem hình bên dưới).

1. Các tam giác DCG, DCF, và DBK cóchiều dài 1 cạnh bằng nhau đó là : DC và BD( cì đều bằng bán kính đườn tròn.

2. Đoạn PF và PG theo thứ tự là đường cao của 2 tam giác DCF và DCG.

4. So sánh DCF, DCG, DBK theo thứ với diện tích của các hình vuông CFEB, CAHG, BAGK ?

5. Nếu bạn làm được những yêu cầu trên thì bạn đã chứng minh được định lý Pitago.

( Theo Tạp chí Tin học và Nhà trường)

Một Số Cách Chứng Minh Định Lí Pitago Phần 2

1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên hai cạnh bên của nó. (Trong hình này bạn không phải vẽ hình vuông trên cạnh huyền).

2. Bạn hãy nối hai đỉnh của hai hình vuông để vẽ được một tam giác vuông thứ hai bằng với tam giác vuông ABC ban đầu.

3. Hãy vẽ một đoạn thẳng đi qua tâm của hình này, đó chính là đoạn thẳng đi qua C và nối hai điỉnh xa nhất của 2 hình vuông ( là đường nét đứt trên hình bên).

4. Hãy vẽ trung điểm D của đoạn này.

5. Quan sát hình chúng ta thấy rằng: đây chính là đoạn thẳng chia hình thành 2 phần đối xứng nhau . Chọn tất cả các đoạn thẳng và các điểm nằm ở một phía của đường thẳng này, và tạo một nút hoạt động Hide/Show để làm ẩn /hiện phần hình được đánh dấu này.

Đặt lại tên cho nút này là Hide Reflection.

6. Kích chuột vào nút Hide Reflection này và bạn sẽ thấy được một nửa hình của ban đầu, phần hình đối xứng với nó bị ẩn đi ( như hình bên dưới).

7. Đánh dấu điểm D làm điểm tâm và quay toàn bộ hình này 180 o quanh điểm D .

Như vậy chúng ta đã tạo ra một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích của đa giác ban dầu.

8. Chọn đánh dấu tất cả các đối tượng ( đoạn thẳng và điểm) của phần hình tạo được do xoay một nửa hình ban đầu và tạo1 nút hoạt động nữa. Đặt tên cho nút này là Hide Rotation (xem hình bên dưới).

9. Vẽ đoạn A’B, và đoạn B’A. Như vậy chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy tứ giác BA’B’A chính là hình vuông trên cạnh c

10. Tô màu cho diện tích của hình tứ giác BA’B’A và hai tam giác vuông liền kề nó.

11. Đánh dấu đoạn A’B, và đoạn B’A, và diện tích của 3 đa giác ( gồm 2 tam giác vuông và 1 hình tứ giác), và tạo thêm 1 nút hoạt động . Có tên là Hide c Squared.

Nhận xét: Từ các bước dựng hìnhnhư trên, chúng ta có thể hình dung được cách chứng minh định lý của Leonardo da Vinci:

+ Cách dựng hình ở bước 1 – 4 cho 1 đa giác có 2 nửa đối xứng nhau qua 1 dường thẳng. Đa giác này có diện tích bằng tổng diện tích của 2 hình vuông trên các cạnh bên a, b của tam giác vuông ABC và diện tích của 2 tam giác vuông( có độ dài 2 cạnh bên là a, b).

+ Khi xoay 1 nửa đa giác trên quanh điểm tâm D của đường phân cách 180 o  cho ta một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích đa giác ba đầu.

+ Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích tứ giác BA’B’A = (a 2 + b 2 + 2ab) – 2ab = a 2 + b 2 (1)

+ Việc nối A với B’, B với A’ cho ta hình vuông BA’B’A. (Vì AB song song và bằng A’B’ ; A’B và AB’ cũng song song và bằng nhau ). Tứ giác BA’B’A chính là hình vuông có cạnh là c diện tích của hình vuông này là c 2 (2)

Tử (1) và (2) ta có được c 2 = a 2 + b 2 . Có nghĩa là định lý Pitago được chứng minh.

12. Hãy thử kích vào các nút Hide, sau đó lại kích lại vào chúng. Như vậy bạn sẽ thấy được sự biến đổi của các bước làm trên : từ 1 hình gồm 2 tam giác vuông và 2 hình vuông trên 2 cạnh bên biến đổi thành hình gồm 2 tam giác vuông và 1 hình vuông trên cạnh huyền của chúng. ( mà diện tích của toàn bộ hình không đổi). Đây chính là cách chứng minh định lý của daVinci.

Cách 4: Chứng minh của 1 tổng thống

James A. Garfield đã khám phá ra một cách chứng minh định lý Pitago vào năm 1876, một vài năm trước khi ông ta trở tổng thống Hoa Kỳ. Một điều thú vị là trong ngành toán học không chỉ có một người trở thành tổng thống. Trước Garfield là ông Abraham Lincoln, là một thành viên của tổ chức Euclid là một trong những tác giả của những cuốn sách có sức thuyết phục nhất. Ông vừa là một luật sư vừa là một nhà chính trị. Cách chứng minh của Garfield được minh họa với một hình tương dối đơn giản: là một hình thang.

1. Vẽ một tam giác vuông ABC và đặt tên các đỉnh như hình bên.

2. Đánh dấu điểm B làm tâm và quay cạnh c và điểm A theo B một góc 90 o .( sau bước này ta được hình bên)

3. Nối điểm A và A’ sau đó vẽ một đường thẳng đi qua A’ và song song với cạnh b.

4. Sử dụng công cụ Ray để kéo dài đoạn CB. Và vẽ điểm giao D cỉa của tia này với đường thẳng đi qua A’.

5. Làm ẩn đi tia và đường thẳng đi và thay vào đó là đoạn BD và DA’.

Như vậy ta có tứ giác ACDA’ là 1 hình thang vuông vì :

+ DA’ và CA song song( do cách dựng ở bước 3)

+ Góc ACB vuông( do ABC là tam giác vuông ban đầu) góc CDA’ vuông.

6. Tô màu đa giác theo 3 tam giác vuông bên trong nó.

7. Hãy đo độ dài cạnh a, b, c.Và bạn có thể sử dụng kết quả đo lường này để tính toán diện tích của 3 tam giác và tổng của chúng :

+ Đo độ dài các cạnh bằng cách : di chuột đến cạnh đó và kích chuột phải length

+ Đo diện tích tam giác :kích chuột phải lên tam giác đó chọn Area

+ Tính tổng các tam giác :chọn menu Measure  Calculate.

8. Sử dụng công thức tính diện tích của hình thanhg để tính diện tích hình ACDA’ chỉ dựa vào độ dài các cạnh.( dùng cái gì để đo chiều cao của hình thang vuông ?). Hãy vẽ miền trong đa giác của toàn bộ hình và xác nhận lại các tính toán của bạn đă làm là đúng.

– Trong cách chứng minh này từ cách dựng hình như trên , chúng ta tính được diện tích hình thang ACDA’ theo 2 cách :

Tính theo 3 tham số a, b, c ( dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình thang bằng tổng diện tích 3 tam giác vuông trong đó 2 tam giác vuông màu đỏ có diện tích bằng nhau do tính chất của phép quay) thì ta có :

Dt = 2*ab /2 + c*c /2 (1)

: tính theo 2 tham số a. b( dựa vào công thức tính diện tích hình thang):

Từ (1) và(2) ta có Dt =ab+ c2/2 = (a+b)2/2  c2 = a2 + b2. chính là điều phải chứng minh.

Cách 5: Chứng minh định lý Pitago của Perigal

– Có nhiều cách chứng minh định lý Pitagocó nguồn gốc từ cổ xưa, nhưng lại được chứng minh lại bởi những người không biết đến nguồn gốc cổ xưa của nó. Đây là một cách chứng minh mà được ‘ khám phá’ ra bởi nhà toán học Henry Perigal vào năm 1873, nhưng cách chứng minh này lại được biết đến là cách chứng minh của nhà toán học người A- rập Tâbit ibn Qorra.a cách đó hàng nghìn năm.

Dựng hình và kiểm tra

1. Vẽ một hình vuông CADE.

2. Vẽ một hình vuông nhỏ hơn sát ngay hình vuông CADE vừa vẽ sao cho 2 hình vuông này có chung một đỉnh( là A) và đỉnh thứ hai của hình vuông nhỏ nằm trên cạnh DA( đỉnh G)  hình vuông nhỏ tạo được là hình vuông AGFB. Đặt tên cho độ dài cạnh của 2 hình vuông này lần lượt là b, a .

( hình bên minh họa cho bước 1 – 2).

3. Đánh dấu đoạn AB như 1 vectơ và dịch chuyển điểm C theo vectơ này. Cách làm như sau :

4. Vẽ đoạn thẳng EC’ và C’F.

5. Tô màu cho miền trong các đa giác là tam giác ( tam giác ECC’, và tam giác C’FB).

Nhận xét: Chúng ta bắt đầu dựng hình với 2 hình vuông liền kề với nhau, và bên trong của hình này chúng ta dựng hai tam giác vuông :

+ Trong tam giác vuông ECC’ ta có cạnh EC là cạnh hình vuông lớn nên có độ dài là b ; cạnh CC’ là kết quả của việc dịch chuyển điểm C theo vectơ AB nên CC’ dài bằng đoạn AB có độ dài là a.

+ Trong tam giác C’FB ta có cạnh FB là cạnh của hình vuông nhỏ, nên có độ dài là a. Cạnh C’B có độ dài bằng b ( Vì đoạn CC’ dài bằng đoạn AB).

Gọi độ dài cạnh huyền cuả tam giác vuông này là c.

6. Sử dụng công cụ Translator để chuyển dịch tam giác ECC’ từ điểm C đến điểm G , và để chuyển tam giác C’BF từ điểm B tới điểm D.( Xem lại bài tạo công cụ Translator đã giới thiệu)  Việc dịch chuyển các tam giác không làm thay đổi kích thước của các tam giác đó.

7. Đánh dấu điểm E làm tâm và quay điểm C’ một góc 90 o để tạo thành hình vuông EC’FC”.

– Vì EC là cạnh của tam giác vuông ECC’ nên hình vuông EC’FC” có diện tích là c 2.

Vì tam giác vuông ECC’ được di chuyển thành tam giác C”GF :  góc ECC’ = góc C”GF( = 90 o ).

 Diện tích tam giác ECC”= diện tích tam giác C”GB.

Tương tự ta có : Diện tích tam giác C’BF = diện tích tam giác EDC”.

Vậy ta có diện tích của tứ giác EC’FC” băng tổng diện hai hình vuông có cạnh b, a ban đầu. Nên diện tích EC’FC” = a 2 + b 2. Đồng thời vì EC’FC” cũng là hình vuông có độ dài cạnh bằng độ dài cạnh huyền cuả tam giác vuông có các cạnh bên là b, a( dựng hình bước 7). Nên diện tích của hình vuông EC’FC”= c 2 . Hay trong 1 tam giác vuông có c 2= a 2 + b 2 ( c là cạnh huyền, a,b là 2 cạnh bên).

Vậy có nghĩa là ta đã chứng minh được định lý Pitago.

(Theo Tạp chí Tin học và Nhà trường)

Định Lý Pitago Mở Rộng. Các Cách Khác Nhau Để Chứng Minh Định Lý Pitago

Định lý Pitago là phát biểu quan trọng nhất của hình học. Định lý được xây dựng như sau: diện tích của một hình vuông được xây dựng trên cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng diện tích của các hình vuông được xây dựng trên chân của nó.

Định lý Pythagore

.Công thức đại số: V tam giác vuông bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài chân. Nghĩa là, biểu thị độ dài cạnh huyền của tam giác qua c, và độ dài chân qua a và b: a 2 + b 2 = c 2. Cả hai phát biểu của định lý là tương đương, nhưng phát biểu thứ hai là cơ bản hơn, nó không yêu cầu khái niệm về diện tích. Có nghĩa là, câu lệnh thứ hai có thể được kiểm tra mà không cần biết gì về diện tích và chỉ bằng cách đo độ dài các cạnh của một tam giác vuông. Định lý ngược của Pythagoras. Cứ ba số dương a, b và c, sao cho a 2 + b 2 = c 2, là một tam giác vuông có chân a, b và cạnh huyền c.

Bằng chứng

Trên khoảnh khắc này v tài liệu khoa học 367 chứng minh của định lý này đã được ghi lại. Có lẽ định lý Pitago là định lý duy nhất có số lượng chứng minh ấn tượng như vậy. Sự đa dạng này chỉ có thể được giải thích bởi ý nghĩa cơ bản của định lý đối với hình học. Tất nhiên, về mặt khái niệm, tất cả chúng có thể được chia thành một số lượng nhỏ các lớp. Nổi tiếng nhất trong số đó: chứng minh bằng phương pháp diện tích, chứng minh tiên đề và ngoại lai (ví dụ, sử dụng phương trình vi phân).

Qua các tam giác đồng dạng

Chứng minh sau đây của công thức đại số là chứng minh đơn giản nhất trong số các chứng minh được xây dựng trực tiếp từ các tiên đề. Đặc biệt, nó không sử dụng khái niệm diện tích của một hình. Cho ABC là tam giác vuông cân với góc vuông C. Kẻ đường cao từ C và kí hiệu đáy là H. Tam giác ACH đồng dạng với tam giác ABC ở hai góc. Tương tự, tam giác CBH đồng dạng với ABC. Giới thiệu ký hiệu

chúng tôi nhận được Tương đương là gì

Thêm, chúng tôi nhận được

hoặc

Khu vực chứng minh

1. Đặt bốn tam giác vuông bằng nhau như hình vẽ bên. 2. Một tứ giác có các cạnh c là một hình vuông, vì tổng của hai góc nhọn 90 ° và góc mở ra là 180 °. 3. Diện tích của toàn hình, một mặt là diện tích hình vuông có cạnh (a + b), mặt khác là tổng khu vực của bốn hình tam giác và hình vuông bên trong.

Q.E.D.

Bằng chứng thông qua việc mở rộng quy mô

Ví dụ về một trong những cách chứng minh như vậy được hiển thị trong hình vẽ bên phải, trong đó một hình vuông được xây dựng trên cạnh huyền được biến đổi bằng cách hoán vị thành hai hình vuông được xây dựng trên các chân.

Chứng minh của Euclid

Ý tưởng đằng sau chứng minh của Euclid như sau: hãy cố gắng chứng minh rằng một nửa diện tích của hình vuông được xây dựng trên cạnh huyền bằng tổng của một nửa diện tích của các hình vuông được xây dựng trên chân, và sau đó là các diện tích của hình vuông lớn và hai hình vuông nhỏ bằng nhau. Hãy xem xét hình vẽ bên trái. Trên đó, ta dựng hình vuông trên các cạnh của tam giác vuông và kẻ tia s từ đỉnh của góc vuông C vuông góc với cạnh huyền AB, nó cắt hình vuông ABIK dựng trên cạnh huyền thành hai hình chữ nhật – BHJI và HAKJ, tương ứng. Nó chỉ ra rằng diện tích của những hình chữ nhật này chính xác bằng diện tích của các hình vuông được xây dựng trên các chân tương ứng. Hãy thử chứng minh rằng diện tích của hình vuông DECA bằng diện tích của hình chữ nhật AHJK Để làm được điều này, chúng ta sử dụng một quan sát bổ trợ: Diện tích của một tam giác có cùng chiều cao và đáy với hình chữ nhật này bằng nhau đến một nửa diện tích của hình chữ nhật đã cho. Đây là hệ quả của định nghĩa diện tích tam giác là nửa tích của chiều cao và đáy. Từ nhận xét này, ta thấy rằng diện tích tam giác ACK bằng diện tích tam giác AHK (không có hình bên), nghĩa là diện tích tam giác AHJK bằng nửa diện tích hình chữ nhật. . Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng diện tích của tam giác ACK cũng bằng một nửa diện tích của hình vuông DECA. Điều duy nhất cần làm là chứng minh sự bằng nhau của các tam giác ACK và BDA (vì diện tích tam giác BDA bằng một nửa diện tích hình vuông theo tính chất trên). Bằng nhau là hiển nhiên, các tam giác bằng nhau về hai cạnh và góc giữa chúng. Cụ thể – AB = AK, AD = AC – bằng nhau của các góc CAK và BAD dễ dàng chứng minh bằng phương pháp chuyển động: ta quay tam giác CAK 90 ° ngược chiều kim đồng hồ thì ta thấy các cạnh tương ứng của hai tam giác đang xét sẽ trùng (vì góc ở đỉnh của hình vuông là 90 °). Lý luận về sự bằng nhau của diện tích hình vuông BCFG và hình chữ nhật BHJI là hoàn toàn tương tự. Như vậy, chúng ta đã chứng minh rằng diện tích của hình vuông được xây dựng trên cạnh huyền là tổng diện tích của các hình vuông được xây dựng trên chân.

Bằng chứng của Leonardo da Vinci

Các yếu tố chính của chứng minh là đối xứng và chuyển động.

Xét hình vẽ, ta thấy đoạn thẳng CI cắt hình vuông ABHJ thành hai phần giống nhau (do các tam giác ABC và JHI bằng nhau). Sử dụng phép quay ngược chiều kim đồng hồ 90 độ, chúng ta thấy rằng các hình tô mờ CAJI và GDAB bằng nhau. Bây giờ rõ ràng là diện tích của hình được tô bóng bằng tổng của các nửa diện tích của các hình vuông được xây dựng trên các chân và diện tích của hình tam giác ban đầu. Mặt khác, nó bằng một nửa diện tích của hình vuông được xây dựng trên cạnh huyền, cộng với diện tích của tam giác ban đầu. Bước cuối cùng trong phần chứng minh được để lại cho người đọc.

Đảm bảo rằng tam giác bạn đưa ra là góc vuông, vì định lý Pitago chỉ áp dụng cho các tam giác vuông. Trong tam giác vuông, một trong ba góc luôn bằng 90 độ.

Góc vuông trong tam giác vuông được biểu thị bằng biểu tượng hình vuông, không phải đường cong, là góc xiên.

Thêm hướng dẫn cho các cạnh của tam giác. Ghi nhãn các chân là “a” và “b” (chân – các cạnh giao nhau ở góc vuông) và cạnh huyền là “c” (cạnh huyền – cạnh lớn nhất của tam giác vuông nằm đối diện với một góc vuông).

Xác định cạnh nào của tam giác bạn muốn tìm.Định lý Pitago cho phép bạn tìm bất kỳ cạnh nào của tam giác vuông (nếu biết hai cạnh còn lại). Xác định mặt (a, b, c) bạn cần tìm.

Ví dụ, cho một cạnh huyền bằng 5 và cho một chân bằng 3. Trong trường hợp này, bạn cần tìm chân thứ hai. Chúng ta sẽ quay lại ví dụ này sau.

Nếu hai cạnh còn lại chưa biết thì cần tìm độ dài của một trong hai cạnh chưa biết để có thể áp dụng định lý Pitago. Để làm điều này, hãy sử dụng hàm lượng giác(nếu bạn được cho giá trị của một trong các góc xiên).

Thay vào công thức a 2 + b 2 = c 2 các giá trị đã cho (hoặc các giá trị bạn tìm thấy). Hãy nhớ rằng a và b là chân và c là cạnh huyền.

Trong ví dụ của chúng tôi, hãy viết: 3² + b² = 5².

Vuông mỗi cạnh mà bạn biết. Hoặc để lại các độ – bạn có thể bình phương các số sau đó.

Trong ví dụ của chúng tôi, hãy viết: 9 + b² = 25.

Cô lập mặt không xác định về một phía của phương trình.Để làm điều này, hãy chuyển giá trị đã biết về phía bên kia của phương trình. Nếu bạn tìm thấy cạnh huyền, thì trong định lý Pitago, nó đã được cô lập về một phía của phương trình (vì vậy không cần phải làm gì).

Trong ví dụ của chúng tôi, hãy di chuyển 9 sang vế phải của phương trình để tách b² chưa biết. Bạn sẽ nhận được b² = 16.

Lấy lại Căn bậc hai từ cả hai vế của phương trình sau khi có một ẩn số (bình phương) ở một phía của phương trình và một số bị chặn ở phía kia.

Trong ví dụ của chúng ta, b² = 16. Lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình và nhận được b = 4. Vì vậy, chân thứ hai là 4.

Sử dụng định lý Pitago trong Cuộc sống hàng ngày, vì nó có thể được sử dụng trong một số lượng lớn các tình huống thực tế. Để làm được điều này, hãy học cách nhận biết hình tam giác vuông trong cuộc sống hàng ngày – trong bất kỳ tình huống nào trong đó hai đối tượng (hoặc đường thẳng) cắt nhau ở góc vuông và đối tượng thứ ba (hoặc đường thẳng) nối (theo đường chéo) các đỉnh của hai đối tượng đầu tiên (hoặc đường thẳng), bạn có thể sử dụng định lý Pitago để tìm vế chưa biết (nếu biết hai vế còn lại).

Ví dụ: cho một cầu thang dựa vào một tòa nhà. Phần dưới cùng cầu thang cách chân tường 5 mét. Phần trên cùng cầu thang cách mặt đất 20 mét (lên tường). Cầu thang dài bao nhiêu?

“Cách chân tường 5 mét” có nghĩa là a = 5; “Cách mặt đất 20 mét” có nghĩa là b = 20 (nghĩa là bạn có hai chân của một tam giác vuông, vì bức tường của tòa nhà và bề mặt Trái đất cắt nhau vuông góc). Chiều dài của cái thang là chiều dài của cạnh huyền, chưa biết.

a² + b² = c²

(5) ² + (20) ² = c²

25 + 400 = c²

425 = c²

c = √425

s = 20,6. Như vậy, chiều dài gần đúng của cầu thang là 20,6 mét.

Mọi học sinh đều biết rằng bình phương của cạnh huyền luôn bằng tổng của chân, mỗi cạnh là bình phương. Phát biểu này được gọi là định lý Pitago. Cô ấy là một trong những định lý nổi tiếng lượng giác và toán học nói chung. Chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn.

Khái niệm về tam giác vuông

Trước khi tiếp tục xem xét định lý Pitago, trong đó bình phương cạnh huyền bằng tổng các chân của bình phương, ta nên xem xét khái niệm và tính chất của tam giác vuông mà định lý có giá trị.

Tam giác – hình phẳng có ba góc và ba cạnh. Một tam giác vuông, như tên gọi của nó, có một góc vuông, tức là góc này là 90 o.

Từ Thuộc tính chungĐối với tất cả các tam giác, biết rằng tổng của cả ba góc của hình này là 180 o, có nghĩa là đối với một tam giác vuông, tổng của hai góc không thẳng là 180 o – 90 o = 90 o. Sự thật cuối cùng có nghĩa là bất kỳ góc nào trong tam giác vuông không vuông sẽ luôn nhỏ hơn 90 o.

Cạnh nằm đối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền. Hai cạnh còn lại là chân của tam giác, chúng có thể bằng nhau hoặc chênh lệch nhau. Từ lượng giác người ta đã biết rằng góc mà cạnh nằm trong tam giác càng lớn thì độ dài cạnh này càng lớn. Điều này có nghĩa là trong một tam giác vuông, cạnh huyền (nằm đối diện với góc 90 o) sẽ luôn lớn hơn bất kỳ chân nào (nằm đối diện với các góc

Ký hiệu toán học của định lý Pitago

Định lý này phát biểu rằng bình phương của cạnh huyền bằng tổng của các chân, mỗi chân trước đó là bình phương. Để viết công thức này một cách toán học, hãy xem xét một tam giác vuông trong đó các cạnh a, b và c lần lượt là hai chân và cạnh huyền. Trong trường hợp này, định lý, được xây dựng dưới dạng bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của các chân, có thể được biểu diễn bằng công thức sau: c 2 = a 2 + b 2. Từ đây, có thể thu được các công thức thực hành quan trọng khác: a = √ (c 2 – b 2), b = √ (c 2 – a 2) và c = √ (a 2 + b 2).

Lưu ý rằng trong trường hợp của một hình chữ nhật Tam giác đều, nghĩa là, a = b, công thức: bình phương của cạnh huyền bằng tổng các chân, mỗi chân là bình phương, được viết theo toán học như sau: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, ngụ ý đẳng thức: c = a√2.

Tham khảo lịch sử

Định lý Pitago, nói rằng bình phương của cạnh huyền bằng tổng các chân, mỗi chân là bình phương, đã được biết đến từ rất lâu trước khi nhà triết học nổi tiếng người Hy Lạp chú ý đến nó. Nhiều giấy cói của Ai Cập cổ đại, cũng như những tấm bảng bằng đất sét của người Babylon, xác nhận rằng những dân tộc này đã sử dụng tính chất lưu ý của các cạnh của một tam giác vuông. Ví dụ, một trong những Kim tự tháp Ai Cập, kim tự tháp Khafre, được xây dựng từ thế kỷ XXVI trước Công nguyên (2000 năm trước cuộc đời của Pythagoras), được xây dựng dựa trên kiến ​​thức về tỷ lệ khung hình trong một tam giác vuông 3x4x5.

Vậy thì tại sao bây giờ định lý lại được đặt tên theo tiếng Hy Lạp? Câu trả lời rất đơn giản: Pythagoras là người đầu tiên chứng minh định lý này bằng toán học. Ở Babylon và Ai Cập còn sót lại nguồn văn bản nó chỉ nói về việc sử dụng nó, nhưng không có bằng chứng toán học nào được đưa ra.

Người ta tin rằng Pythagoras đã chứng minh định lý đang được xem xét bằng cách sử dụng các tính chất của các tam giác đồng dạng, mà ông thu được bằng cách vẽ chiều cao của một tam giác vuông từ một góc 90o đến cạnh huyền.

Một ví dụ về việc sử dụng định lý Pitago

Xem xét nhiệm vụ đơn giản: cần xác định chiều dài của cầu thang nghiêng L, nếu biết nó có chiều cao H = 3 mét, và khoảng cách từ tường dựa vào chân cầu thang là P = 2,5 mét.

V trường hợp này H và P là chân và L là cạnh huyền. Vì độ dài của cạnh huyền bằng tổng bình phương của các chân nên ta nhận được: L 2 = H 2 + P 2, khi đó L = √ (H 2 + P 2) = √ (3 2 + 2,5 2) = 3,905 mét hoặc 3 m và 90, 5 cm.